ТРОУГЛОВИ: ИСТОРИЈА, ЕЛЕМЕНТИ, КЛАСИФИКАЦИЈА, СВОЈСТВА - НАУКА - 2025

У троуглови су равни и затворене геометријске фигуре, који се састоји од три стране. Трокут је одређен трима линијама које се пресецају две по две, творећи три угла један са другим. Трокутасти облик, пун симболике, присутан је у безброј објеката и као елемент конструкције.

Порекло троугла је изгубљено у историји. Из археолошких доказа познато је да је примитивно човечанство то добро знало, јер археолошки остаци потврђују да се користило у оруђу и оружју.

Слика 1. Троугли. Извор: Публицдомаинпицтурес.

Такође је очигледно да су стари Египћани поседовали чврсто знање о геометрији, а нарочито о троугластом облику. Они су се огледали у архитектонским елементима његових монументалних грађевина.

У папирусу Рхинд пронаћи ћете формуле за израчунавање површина троуглова и трапеза, као и неке свеске и друге концепте рудиментарне тригонометрије.

Са своје стране познато је да су Бабилонци могли да израчунају површину троугла и друге геометријске фигуре, које су користили у практичне сврхе, као што су поделе земље. Такође су знали за многа својства троугла.

Међутим, стари Грци су систематизовали многе геометријске концепте који су преовладавани данас, мада добар део овог знања није био ексклузиван, будући да је сигурно подељен са овим другим древним цивилизацијама.

Триангле елементс

Елементи било којег троугла су назначени на следећој слици. Постоје три: врхови, странице и углови.

Слика 2. Нотација троуглова и њихових елемената. Извор: Викимедиа Цоммонс, модификовао Ф. Запата

-Вертицес : су тачке пресека линија чији сегменти одређују троугао. На горњој слици, на пример, линија Л _АЦ која садржи сегмент АЦ пресече линију Л _АБ која садржи сегмент АБ тачно у тачки А.

- Стране : између сваког пара врхова црта се сегмент линије који чини једну страну троугла. Овај сегмент се може означити крајњим словима или употребом одређеног слова да бисте га позвали. У примеру са слике 2, страна АБ се такође назива "ц".

- Углови : Између сваке стране са заједничком краљежницом настаје угао чија се врх подудара с врхом троугла. Уопштено, угао је означен грчким словом, као што је наведено на почетку.

Да бисте направили одређени троугао, са датим обликом и величином, само један од следећих скупова података:

- Три стране, сасвим очигледно у случају троугла.

-Две стране и угао између њих, а одмах се повлачи и преостала страна.

-Два (унутрашњи) углова и страна између њих. Проширењем се извлаче две недостајуће стране и троугао је спреман.

Напомена

Генерално, у трокутастој нотацији користе се следеће конвенције: врхови су означени великим малим латиничним словима, а стране малим латиничним словима, а углови грчким словима (види слику 2).

На тај се начин троугао назива према врховима. На пример, троугао са леве стране на слици 2 је троугао АБЦ, а онај са десне стране је троугао А'Б'Ц '.

Могуће је користити и друге ознаке; на пример, угао α на слици 2 је означен као БАЦ. Имајте на уму да слово врха иде у средини, а слова су написана у смеру супротном од казаљке на сату.

Други пут се користи ознака за означавање угла:

α = ∠А

Врсте троуглова

Постоји неколико критеријума за разврставање троуглова. Најчешће је класификовати их према мери њихових страна или према мери њихових углова. У зависности од мере њихове стране, троуглови могу бити: скале, једнаке или једнакостраничне:

-Сцалено : његове три стране су различите.

-Исосцелес : има две једнаке стране и једну различиту страну.

-Екуилатеро : три стране су једнаке.

Слика 3. Класификација троуглова по њиховим странама. Извор: Ф. Запата

У складу са мером њихових углова, троуглови су названи овако:

- Препрека , ако је један од унутрашњих углова већи од 90 °.

- Акутни угао , када су три унутрашња угла троугла оштра, односно мања од 90 °

- Правоугаоник , у случају да један од његових унутрашњих углова има вредност од 90 °. Странице које формирају 90 ° називају се ноге, а страна супротна правом углу је хипотенуза.

Слика 4. Класификација троуглова према њиховим унутрашњим угловима. Извор: Ф. Запата.

Конгресност троуглова

Кад два троугла имају исти облик и исте величине, каже се да су једнаки. Наравно да је конгруенција повезана са једнакошћу, па зашто геометрија говори о „два конгруентна троугла“ уместо о „два једнака троугла“?

Па, преферира се употреба термина "конгруенција" да би се држали истине, јер два троугла могу имати исти облик и величину, али бити другачије оријентисани у равнини (видети слику 3). Са становишта геометрије више не би биле потпуно исте.

Слика 5. Конгруентни троуглови, али не нужно једнаки, јер је њихова оријентација у равнини различита. Извор: Ф. Запата.

Критеријуми конгруенце

Два троугла су у складу ако се догоди било шта од следећег:

- Три стране мере исто (опет је то најочитије).

-Имају две идентичне стране и под истим углом између њих.

-Имајте два идентична унутрашња угла, а страна између ових углова мери исто.

Као што се може видети, ради се о два троугла који испуњавају потребне услове, тако да када су изграђени, облик и величина су потпуно исти.

Критеријуми конгруенције су веома корисни, јер се у пракси небројени комади и механички делови морају производити серијски, на начин да су њихова мерења и облик потпуно исти.

Сличност троуглова

Трокут је сличан другом ако имају исти облик, чак и ако су различите величине. Да би се осигурало да је облик исти, потребно је да унутрашњи углови имају исту вредност и да стране буду пропорционалне.

Слика 6. Два слична троугла: њихове величине се разликују, али њихови пропорције су исте. Извор: Ф. Запата.

Троуглови на слици 2 су такође слични као и они на слици 6. На овај начин:

Што се тиче страна, важе следећи омјери сличности:

Својства

Темељна својства троуглова су следећа:

-Сума унутрашњих углова било којег троугла је увек 180 °.

-За било који троугао, збир његових спољних углова једнак је 360 °.

- Спољни угао троугла је једнак збиру два унутрашња угла који нису суседни наведеном углу.

Теореме

Тхалесова прва теорема

Приписују их грчком филозофу и математичару Талесу из Милета, који је развио неколико теорема везаних за геометрију. Први од њих наводи следеће:

Слика 7. Тхалесова теорема. Извор: Ф. Запата.

Другим речима:

а / а´ = б / б´ = ц / ц´

Талесова прва теорема је применљива на троугао, на пример, имамо леви плави троугао АБЦ, који је пресечен црвеним паралелама на десној страни:

Слика 8. Талесов теорем и слични троуглови.

Љубичасти троугао АБ'Ц 'сличан је плавом троуглу АБЦ, па се према Талесовој теореми може написати следеће:

АБ´ / АЦ´ = АБ / АЦ

И то је у складу са оним што је раније објашњено у сегменту сличности троуглова. Узгред, паралелне линије такође могу бити вертикалне или паралелне са хипотенузом, а слични троуглови се добијају на исти начин.

Тхалесова друга теорема

Ова теорема се такође односи на троугао и кружницу са центром О, попут оних приказаних доле. На овој слици је АЦ пречник обима и Б тачка на њој, Б различита од А и Б.

Талесова друга теорема каже да:

Слика 9. Тхалесова друга теорема. Извор: Викимедиа Цоммонс. Индуктивно оптерећење.

Питагорејска теорема

Ово је једна од најпознатијих теорема у историји. До њега долази грчки математичар Питагора из Самоса (569 - 475 година пре нове ере) и примењив је на десни троугао. Каже тако:

Ако узмемо за пример плави троугао на слици 8 или љубичасти троугао, јер су оба правоугаоника, онда се може рећи да:

АЦ ² = АБ ² + БЦ ² (плави троугао)

АЦ´ ² = АБ´ ² + БЦ´ ² (љубичасти троугао)

Подручје троугла

Површина троугла је дата производом његове базе а и његове висине х, подељене са 2. А помоћу тригонометрије, ова висина се може записати као х = б синθ.

Слика 10. Површина троугла. Извор: Викимедиа Цоммонс.

Примери троуглова

Пример 1

Каже се да је Тхалес помоћу своје прве теореме успео да измери висину Велике пирамиде у Египту, једно од 7 чуда древног света, мерењем сенке коју је пројектовала на земљу и коју је пројектовао улог укопан у земљу.

Ово је контура поступка који следи Талес:

Слика 11. Шема за мерење висине Велике пирамиде по сличности троуглова. Извор: Викимедиа Цоммонс. Даке

Талес је тачно претпоставио да сунчеви зраци паралелно ударају. Имајући то у виду, замислио је велики десни троугао са десне стране.

Тамо је Д висина пирамиде и Ц је удаљеност изнад земље измерена од центра до сенке коју баца пирамида на пустињски под. Мерење Ц може бити напорно, али је сигурно лакше од мерења висине пирамиде.

Са леве стране је мали троугао са ногама А и Б, где је А висина улома који је вертикално убачен у земљу, а Б је сенка коју баца. Обе дужине су мерљиве, као и Ц (Ц једнака је дужини сенке + половини дужине пирамиде).

Дакле, по сличности троуглова:

А / Б = Д / Ц

А испада да је висина Велике пирамиде: Д = Ц. (А / Б)

Пример 2

Конструкције у цивилној градњи су конструкције направљене од танких равних шипки од дрва или метала, које се користе као потпора у многим зградама. Такође су познати и као решетке, решетке или решетке.

У њима су троуглови увек присутни, пошто су шипке међусобно повезане у тачкама које се зову чворови, које могу бити фиксне или зглобне.

Слика 12. Трокут је присутан у оквиру овог моста. Извор: ПкХере.

Пример 3

Метода позната као триангулација омогућава добијање локације неприступачних тачака знајући друге удаљености које је лакше измерити, под условом да се формира троугао који укључује жељену локацију између његових врхова.

На пример, на следећој слици желимо знати где се брод налази у мору, означен као Б.

Слика 13. Шема триангулације за лоцирање брода. Извор: Викимедиа Цоммонс. Цолетте

Прво се мери растојање између две тачке на обали, које су на слици А и Ц. Затим се углови α и β морају одредити помоћу теодолита, уређаја који се користи за мерење вертикалних и хоризонталних углова.

Са свим тим информацијама изграђен је троугао у чијој је горњој ивици брод. Остаје израчунати угао γ, помоћу својстава троуглова и растојања АБ и ЦБ помоћу тригонометрије, да би се одредио положај брода у мору.

Вежбе

Вежба 1

На слици су сунчеве зраке паралелне. На овај начин дрво високо 5 метара баца сјену 6 метара на земљу. У исто време сенка зграде је 40 метара. Пратећи Тхалесову Прву теорему, пронађите висину зграде.

Слика 14. Шема за решену вежбу 1. Извор: Ф. Запата.

Решење

Црвени троугао има странице од 5 и 6 метара, док плави има висину Х - висину зграде - и основицу 40 метара. Оба троугла су слична, дакле:

Вежба 2

Морате знати водоравну удаљеност између две тачке А и Б, али налазе се на врло неравном терену.

Отприлике на средини (П _м ) поменутог терена, истиче се висина од 1,75 метара. Ако мера траке указује на дужину од 26 метара измерено од А до истакнутости и 27 метара од Б до исте тачке, пронађите удаљеност АБ.

Слика 15. Схема за решену вежбу 2. Извор: Јименез, Р. Математика ИИ. Геометрија и тригонометрија.

Решење

Питагорејска теорема се примењује на један од два права троугла на слици. Почевши од оне са леве стране:

Хипотенуза = ц = 26 метара

Висина = а = 1,75 метара

АП _м = (26 ² - 1,75 ² ) ^1/2 = 25,94 м

Сада примените Питагоре у троуглу са десне стране, овај пут ц = 27 метара, а = 1,75 метара. Са овим вредностима:

БП _м = (27 ² - 1,75 ² ) ^1/2 = 26,94 м

Удаљеност АБ налазимо додавањем ових резултата:

АБ = 25,94 м + 26,94 м = 52,88 м.

Референце

1. Балдор, ЈА 1973. Геометрија летелица и свемира. Средњоамеричка културна.
2. Барредо, Д. Геометрија троугла. Опоравак од: фицус.пнтиц.мец.ес.
3. Јименез, Р. 2010. Математика ИИ. Геометрија и тригонометрија. Друго издање. Пеарсон.
4. Вентвортх, Г. Плане Геометри. Опоравак од: гутенберг.орг.
5. Википедиа. Троугао. Опоравак од: ес. википедиа.орг.