АКСИОМИ ВЕРОВАТНОЋЕ: ВРСТЕ, ОБЈАШЊЕЊЕ, ПРИМЕРИ, ВЕЖБЕ - ДУДАС - 2025

У аксиоме вероватноће су математички искази односе на теорији вероватноће, који не заслужују доказ. Аксиоме је 1933. године установио руски математичар Андреи Колмогоров (1903-1987) у својим Темељима теорије вероватноће и поставио темеље математичком проучавању вероватноће.

Када се изводи одређени случајни експеримент ξ, узорак простора Е је скуп свих могућих резултата експеримента, који се такође називају догађаји. Било који догађај означен је са А и П (А) је вероватноћа да ће се он догодити. Тада је Колмогоров утврдио да:

Слика 1. Аксиоми вероватноће омогућавају нам да израчунамо вероватноћу ударања игара на срећу, попут рулета. Извор: Пикабаи.

- Аксиом 1 (не негативност) : вероватноћа да ће се неки догађај А догодити је увек позитивна или једнака нули, П (А) ≥0. Када је вероватноћа неког догађаја 0, то се назива немогућим догађајем.

- Аксиом 2 (извјесност) : кад год неки догађај који припада Е, његова вјероватноћа је да је 1, што можемо изразити као П (Е) = 1. То је познато као одређени догађај, јер када спроводите експеримент, сигурно има резултата.

- Аксиом 3 (додатак) : у случају два или више неспојивих догађаја два по два, који се називају А ₁ , А ₂ , А ₃ …, вероватноћа да _ће се догодити догађај А ₁ плус А ₂ плус А ₃ и тако даље сукцесивно, то је збир вероватноћа да се свако догоди одвојено.

То се изражава као: П (А ₁ АУ ₂ АУ ₃ У…) = П (А ₁ ) + П (А ₂ ) + П (А ₃ ) +…

Слика 2. Изузетни руски математичар Андреи Колмогоров (1903-1987) који је поставио темеље аксиоматичној вероватноћи. Извор: Викимедиа Цоммонс.

Пример

Аксиоми вероватноће се широко користе у мноштву примена. На пример:

Палацни удар или бацило бацају се у ваздух, а када падне на под, постоји могућност слетања са тачком према горе (У) или са тачком према доле (Д) (нећемо разматрати друге могућности). Простор узорка за овај експеримент састоји се од ових догађаја, тада је Е = {У, Д}.

Слика 3. У експерименту бацања такта постоје два догађаја различитих вероватноћа: слетање са тачком према горе или ка земљи. Извор: Пикабаи.

Применом аксиома имамо:

Ако је подједнако вероватно да ће се спустити горе или доле, П (У) = П (Д) = ½ (Аксиом 1). Међутим, конструкција и дизајн сличице може повећати вероватноћу да ће пасти на овај или онај начин. На пример, може бити да је П (У) = ¾ док је П (Д) = ¼ (Аксиом 1).

Имајте на уму да у оба случаја збир вероватноће даје 1. Међутим, аксиоми не указују на који начин доделити вероватноће, бар не у потпуности. Али они наводе да су бројеви између 0 и 1 и да је, као у овом случају, збир свих.

Начини додељивања вероватноће

Аксиоми вероватноће нису метода додељивања вредности вероватноће. За то постоје три опције које су компатибилне с аксиомима:

Лапласово правило

Сваком догађају је додељена иста вероватноћа да ће се догодити, а затим је вероватноћа појаве дефинисана као:

На пример, колика је вероватноћа цртања аса са палубе француских карата? Палуба има 52 карте, 13 од којих је свако одијело и постоје 4 одијела. Свако одело има 1 аса, тако да укупно постоје 4 аса:

П (ас) = 4/52 = 1/13

Лапласово правило ограничено је на коначне просторе узорака, где је сваки догађај подједнако вероватан.

Релативна фреквенција

Овде треба експеримент поновити, јер се метода заснива на извођењу великог броја понављања.

Направимо и понављања експеримента ξ, од којих налазимо да је н број пута када се одређени догађај А догоди, а вероватноћа да се тај догађај догоди је:

П (А) = лим _{и → ∞} (н / и)

Где је н / и релативна учесталост догађаја.

Дефинисање П (А) на овај начин задовољава Колмогорове аксиоме, али има и недостатак што се морају урадити многи тестови да би вероватноћа била одговарајућа.

Субјективна метода

Особа или група људи могу се сложити да доделе вероватноћу неком догађају сопственом проценом. Ова метода има недостатак што различити људи могу доделити различите вероватноће истом догађају.

Вежба решена

У експерименту истовремено бацања 3 поштене кованице, прибавите вероватноће описаних догађаја:

а) 2 главе и реп.

б) 1 глава и два репа

ц) 3 крста.

д) Барем 1 лице.

Решење за

Главе су означене са Ц, а репови Кс. Али постоји неколико начина да се добију две главе и реп. На пример, прве две кованице могу спустити главе, а треће могу одлагати репове. Или прва може пасти глава, друга реп и трећа глава. И на крају, први могу бити репови и преостале главе.

Да бисте одговорили на питања потребно је знати све могућности које су описане у алату званом дијаграм стабла или дрвету вероватноће:

Слика 4. Дијаграм стабла за истовремено бацање три поштене кованице. Извор: Ф. Запата.

Вероватноћа да ће било који новчић бити глава је ½, исто важи и за репове, пошто је новчић искрен. Десни ступац наводи све могућности које бацање има, односно простор узорка.

Из узорка се бирају комбинације које одговарају на тражени догађај, јер редослед у коме се појављују лица није важан. Постоје три повољна догађаја: ЦЦКС, ЦКСЦ и КСЦЦ. Вероватноћа да се сваки догађај догоди је:

П (ЦЦКС) = ½. ½. ½ = 1/8

Исто се догађа и за догађаје ЦКСЦ и КСЦЦ, а сваки од њих има 1/8 вероватноће да ће се десити. Стога је вероватноћа да добијем тачно 2 главе зброј вероватноће свих повољних догађаја:

П (двострано) = 1/8 + 1/8 + 1/8 = 3/8 = 0,375

Решење б

Проналажење вероватноће да ће се тачно догодити два крста је проблем аналоган претходном, постоје и три повољна догађаја узета из узорка: ЦКСКС, КСЦКС и КСКСЦ. Тако:

П (2 крста) = 3/8 = 0,375

Решење ц

Интуитивно знамо да је вероватноћа добијања 3 репа (или 3 главе) мања. У овом случају, тражени догађај је КСКСКС, на крају десне колоне, чија је вероватноћа:

П (КСКСКС) = ½. ½. ½ = 1/8 = 0,125.

Решење д

Захтева се да добије најмање 1 лице, то значи да могу изаћи 3 лица, 2 лица или 1 лице. Једини неспојиви догађај са тим догађајем је онај у којем излазе 3 репа, чија је вероватноћа 0,125. Стога је тражена вероватноћа:

П (најмање 1 глава) = 1 - 0,125 = 0,875.

Референце

1. Цанавос, Г. 1988. Вероватноћа и статистика: Примене и методе. МцГрав Хилл.
2. Деворе, Ј. 2012. Вероватноћа и статистика за инжењерство и науку. 8тх. Едитион. Ценгаге.
3. Липсцхутз, С. 1991. Сцхаум серија: Вероватноћа. МцГрав Хилл.
4. Обрегон, И. 1989. Теорија вероватноће. Редакција Лимуса.
5. Валполе, Р. 2007. Вероватноћа и статистика за инжењерство и науке. Пеарсон.