ФАКТОРИНГ: МЕТОДЕ И ПРИМЕРИ - МАТХС - 2025

Фацторизатион је метод којим полином се изражава као множења фактора који могу бити бројеви или слова или обоје. За фактор, фактори који су заједнички појмовима се групишу на овај начин и на тај начин се полином распада на неколико полинома.

Стога, када се фактори множе заједно, резултат је оригинални полином. Факторинг је врло корисна метода када имате алгебарске изразе, јер се могу претворити у множење неколико једноставних израза; на пример: 2а ² + 2аб = 2а _* (а + б).

Постоје случајеви у којима се полином не може узети у обзир јер не постоји заједнички фактор између његових израза; према томе, ови алгебарски изрази су подељиви само по себи и 1. На пример: к + и + з.

У алгебарском изразу, заједнички фактор је највећи заједнички раздјелник појмова који га чине.

Методе факторинга

Постоји неколико факторинг метода које се примењују у зависности од случаја. Неке од њих су следеће:

Факторинг по заједничком фактору

У овој методи се идентификују они фактори који су заједнички; то су они који се понављају у изразу. Тада се примењује својство дистрибуције, узима се највећи заједнички делилац и факторинг је завршен.

Другим речима, заједнички фактор израза се идентификује и сваки појам га дели; Резултирајући појмови ће се помножити са највећим заједничким делом да би се изразила факторизација.

Пример 1

Фактор (б ² к) + (б ² г).

Решење

Прво пронађите заједнички фактор сваког појма, који је у овом случају б ² , а затим поделите појмове заједничким фактором на следећи начин:

(б ² к) / б ² = к

(б ² и) / б ² = и.

Факторизација се изражава множењем заједничког фактора с резултирајућим изразима:

(б ² к) + (б ² и) = б ² (к + и).

Пример 2

Фактор (2а ² б ³ ) + (3аб ² ).

Решење

У овом случају имамо два фактора која се понављају у сваком термину и то су "а" и "б", и који се подижу на моћ. Да бисмо их одредили, два појма се најпре разлаже у свом дугом облику:

2 _* а _* а _* б _* б _* б + 3а _* б _* б

Може се видети да се фактор „а“ понавља само једном у другом термину, а фактор „б“ се понавља два пута у овом; тако да у првом термину остаје само 2, фактор "а" и фактор "б"; док у другом мандату остаје само 3.

Стога се времена која се понављају „а“ и „б“ записују и множе са факторима који су преостали од сваког термина, као што је приказано на слици:

Груписање факторинга

Како није у свим случајевима највећи заједнички раздјељивач полинома јасно је изражен, неопходно је учинити и друге кораке како би се могао поново написати полином и тако факторати.

Један од тих корака је груписање појмова полинома у неколико група, а затим коришћење методе заједничког фактора.

Пример 1

Фактор ац + бц + оглас + бд.

Решење

Постоје четири фактора код којих су два уобичајена: у првом је то „ц“, а у другом „д». На овај начин су два појма групирана и одвојена:

(ац + бц) + (ад + бд).

Сада је могуће применити метод заједничког фактора, поделити сваки појам са његовим заједничким фактором, а затим тај заједнички фактор множити са резултујућим терминима, као што је овај:

(ац + бц) / ц = а + б

(ад + бд) / д = а + б

ц (а + б) + д (а + б).

Сада добијамо бином који је заједнички за оба термина. Да бисмо га фактовали, множимо га с преосталим факторима; на тај начин морате:

ац + бц + ад + бд = (ц + д) _* (а + б).

Инспекцијски факторинг

Ова метода се користи за факторирање квадратних полинома, који се називају и триномили; то јест оне које су структуриране као ак ² ± бк + ц, при чему се вредност „а“ разликује од 1. Ова метода се такође користи када триномија има облик к ² ± бк + ц и вредност „а“ = 1.

Пример 1

Фактор к ² + 5к + 6.

Решење

Имамо квадратни триномал облика к ² ± бк + ц. Да бисте га факторисали, прво морате пронаћи два броја која, када се множе, дају вредност «ц» (то јест 6) и да је њихов збир једнак коефицијенту «б», који је 5. Ти бројеви су 2 и 3 :

2 _* 3 = 6

2 + 3 = 5.

На овај се начин поједностављује израз:

(к ² + 2к) + (3к + 6)

Сваки термин се узима у обзир:

- За (к ² + 2к) узима се уобичајени израз: к (к + 2)

- За (3к + 6) = 3 (к + 2)

Дакле, израз је:

к (к +2) + 3 (к +2).

Пошто имамо заједнички бином, да бисмо смањили израз, помножимо то са преосталим изразима и морамо:

к ² + 5к + 6 = (к + 2) _* (к + 3).

Пример 2

Фактор 4а ² + 12а + 9 = 0.

Решење

Имамо квадратни триноминал облика ак ² ± бк + ци да га факторисујемо, помножимо целокупан израз са коефицијентом к ² ; у овом случају 4.

4а ² + 12а +9 = 0

4а ² (4) + 12а (4) + 9 (4) = 0 (4)

16 а ² + 12а (4) + 36 = 0

4 ² а ² + 12а (4) + 36 = 0

Сада морамо пронаћи два броја која, када се множе једни са другима, дају као резултат вредност „ц“ (што је 36) и која када се саберу дају као резултат коефицијент појма „а“, који је 6.

6 _* 6 = 36

6 + 6 = 12.

На овај начин израз се преписује, узимајући у обзир да је 4 ² а ² = 4а _* 4а. Стога се дистрибутивна имовина односи на сваки термин:

(4а + 6) _* (4а + 6).

Коначно, израз се дели коефицијентом ² ; то јест 4:

(4. + 6) _* (4. + 6) / 4 = ((4. + 6) / 2) _* ((4. + 6) / 2).

Израз је следећи:

4а ² + 12а +9 = (2а +3) _* (2а + 3).

Факторинг са запаженим производима

Постоје случајеви да, у потпуности фактор полинома горе наведеним методама, то је веома дуг процес.

Због тога се може развити израз помоћу формула изразитих производа и процес постаје једноставнији. Међу најкоришћенијим најистакнутијим производима су:

- Разлика два квадрата: (а ² - б ² ) = (а - б) _* (а + б)

- Савршени квадрат суме: а ² + 2аб + б ² = (а + б) ²

- Савршени квадрат разлике: а ² - 2аб + б ² = (а - б) ²

- Разлика две коцке: а ³ - б ³ = (аб) _* (а ² + аб + б ² )

- Збир две коцке: а ³ - б ³ = (а + б) _* (а ² - аб + б ² )

Пример 1

Фактор (5 ² - к ² )

Решење

У овом случају постоји разлика од два квадрата; стога примењује се изванредна формула производа:

(а ² - б ² ) = (а - б) _* (а + б)

(5 ² - к ² ) = (5 - к) _* (5 + к)

Пример 2

Фактор 16к ² + 40к + 25 ²

Решење

У овом случају имате савршени квадрат суме, јер можете идентификовати два термина у квадрат, а термин који је преостао резултат је умножавања два у квадратни корен првог термина, са квадратним кореном другог термина.

а ² + 2аб + б ² = (а + б) ²

Да би се израчунали само квадратни корени првог и трећег појма:

√ (16к ² ) = 4к

√ (25 ² ) = 5.

Затим су два резултирајућа израза одвојена знаком операције, а цео полином је квадрат:

16к ² + 40к + 25 ² = (4к + 5) ² .

Пример 3

Фактор 27а ³ - б ³

Решење

Израз представља одузимање у којем се налазе два фактора. Да бисмо их факторовали, примењује се формула за приметни производ разлике коцке која је:

а ³ - б ³ = (аб) _* (а ² + аб + б ² )

Дакле, за фактор, коцка коцке сваког термина бинома узима се и множи с квадратом првог термина, увећаним производом првог у другом изразу, плус другим појмом у квадрат.

27а ³ - б ³

√√ (27а ³ ) = 3а

³√ (-б ³ ) = -б

27а ³ - б ³ = (3а - б) _*

27а ³ - б ³ = (3а - б) _* (9а ² + 3аб + б ² )

Факторинг са Руффинијевом владавином

Ова метода се користи када имате полином степена већег од два, како бисте поједноставили израз на неколико полинома мањег степена.

Пример 1

Фактор К (к) = к ⁴ - 9к ² + 4к + 12

Решење

Прво тражимо бројеве који су дељивци од 12, што је независан појам; То су ± 1, ± 2, ± 3, ± 4, ± 6 и ± 12.

Тада је к замењен тим вредностима, од најнижих до највиших, и на тај начин се одређује на коју ће од вредности тачна поделити; то јест, остатак мора бити 0:

к = -1

К (-1) = (-1) ⁴ - 9 (-1) ² + 4 (-1) + 12 = 0.

к = 1

К (1) = 1 ⁴ - 9 (1) ² + 4 (1) + 12 = 8 = 0.

к = 2

К (2) = 2 ⁴ - 9 (2) ² + 4 (2) + 12 = 0.

И тако за сваког раздјелника. У овом случају, пронађени фактори су за к = -1 и к = 2.

Сада се примењује Руффини метода према којој ће коефицијенти израза бити подељени пронађеним факторима тако да је подела тачна. Полиномни термини су поредани од највишег до најнижег експонента; у случају да у слиједу недостаје израз са следећим степеном, на његово место поставља се 0.

Коефицијенти су смјештени у шеми као што је приказано на сљедећој слици.

Први коефицијент се смањује и множи с дељеником. У овом случају, први делилац је -1, а резултат се ставља у следећу колону. Затим се вертикално додаје вредност коефицијента са добијеним резултатом и резултат се поставља испод. На овај начин се поступак понавља до последње колоне.

Тада се исти поступак поново понавља, али са другим раздјелником (што је 2), јер се израз и даље може поједноставити.

Дакле, за сваки добијени корен полином ће имати израз (к - а), где је "а" вредност корена:

(к - (-1)) _* (к - 2) = (к + 1) _* (к - 2)

С друге стране, ови изрази се морају помножити са остатком Руффинијевих правила 1: 1 и -6, који су фактори који представљају степен. На тај начин израз који се формира је: (к ² + к - 6).

Добијање резултата факторизације полинома Руффинијевом методом је:

к ⁴ - 9к ² + 4к + 12 = (к + 1) _* (к - 2) _* (к ² + к - 6)

Коначно, полином степена 2 који се појављује у претходном изразу може се преписати као (к + 3) (к-2). Стога је коначна факторизација сљедећа:

к ⁴ - 9к ² + 4к + 12 = (к + 1) _* (к - 2) _* (к + 3) _* (к-2).

Референце

1. Артхур Гоодман, ЛХ (1996). Алгебра и тригонометрија са аналитичком геометријом. Пеарсон Едуцатион.
2. Ј, В. (2014). Како научити дјецу о факторингу полинома.
3. Мануел Морилло, АС (сф). Основна математика са апликацијама.
4. Роелсе, ПЛ (1997). Линеарне методе за полиномску факторизацију преко коначних поља: теорија и имплементације. Университат Ессен.
5. Схарпе, Д. (1987). Прстенови и факторизација.