АТОМСКИ МОДЕЛ ДИРАЦ ЈОРДАНА: КАРАКТЕРИСТИКЕ И ПОСТУЛАТИ - ФИЗИЧКИ - 2025

Дирац-Јордан атомски модел је релативистички генерализација хамилтонијана оператора у једначини која описује квантна таласа функцију електрона. За разлику од претходног модела, оног Сцхродингера, није неопходно наметати спин помоћу принципа искључености Паулија, јер се природно појављује.

Поред тога, Дирац-Јордан модел укључује релативистичке корекције, интеракцију спинове орбите и Дарвинов термин, који узимају у обзир фину структуру електронских нивоа атома.

Слика 1. Електронске орбитале у атому водоника за прва три нивоа енергије. Извор: Викимедиа Цоммонс.

Почевши од 1928. године, научници Паул АМ Дирац (1902-1984) и Пасцуал Јордан (1902-1980), који су намеравали да генералишу квантну механику коју је развио Сцхродингер, да укључе Аинстеинове посебне корекције релативности.

Дирак полази од Сцхродингерове једнаџбе која се састоји од диференцијалног оператера, названог Хамилтониан, који делује на функцији познатој као функција електронског таласа. Међутим, Сцхродингер није узео у обзир релативистичке ефекте.

Решења таласне функције омогућавају нам да израчунамо регионе у којима ће се са одређеним степеном вероватноће наћи електрон око језгра. Ове регије или зоне називају се орбиталима и зависе од одређених дискретних квантних бројева, који дефинишу енергију и угаони момент електрона.

Постулати

У квантно механичким теоријама, било да су релативистичке или не, не постоји концепт орбите, јер ни положај ни брзина електрона не могу бити истовремено одређени. Надаље, одређивање једне од варијабли доводи до потпуне непрецизности у другој.

Са своје стране, Хамилтониан је математички оператор који делује на квантну таласну функцију и изграђен је из енергије електрона. На пример, слободни електрон има укупну енергију Е која зависи од његовог линеарног момента п као што је овај:

Е = ( п ² ) / 2м

Да бисмо конструисали Хамилтонијан, полазимо од овог израза и заменимо п квантним оператором за момент:

п = -и ħ ∂ / ∂ р

Важно је напоменути да су п и п термини различити, јер је први момент, а други диференцијални оператор повезан са замахом.

Поред тога, и је имагинарна јединица и цонстант Планцкова константа дељена са 2π, на тај начин се добија Хамилтонов оператор Х слободног електрона:

Х = (ħ ² / 2м) ∂ ² / ∂ р ²

Да бисте пронашли хамилтонијум електрона у атому, додајте интеракцију електрона и језгра:

Х = (ħ2 / 2м) ∂ ² / ∂ р ² - еΦ (р)

У претходном изразу -е је електрични набој електрона и Φ (р) електростатички потенцијал који производи централно језгро.

Сада, оператер Х делује на таласну функцију ψ према Сцхродингеровој једначини, која је написана овако:

Х ψ = (и ħ ∂ / ∂т) ψ

Дирацова четири постулата

Први постулат : релативистичка једнаџба таласа има исту структуру као и Сцхродингерова таласна једначина, а промена је Х:

Х ψ = (и ħ ∂ / ∂т) ψ

Други постулат : Хамилтонски оператор конструисан је полазећи од Аинстеинове везе енергије и момента, која је написана на следећи начин:

Е = (м ² ц ⁴ + п ² ц ² ) ^1/2

У претходном односу, ако честица има момент п = 0, имамо познату једначину Е = мц ² која повезује енергију у мировању било које честице масе м брзином светлости ц.

Трећи постулат : да би се добио Хамилтонов оператор, користи се исто правило квантизације које се користи у Сцхродингеровој једначини:

п = -и ħ ∂ / ∂ р

На почетку није било јасно како се понашати са овим диференцијалним оператором који делује унутар квадратног корена, па је Дирац кренуо да добије линеарни Хамилтонов оператор на оператору момента и одатле је настао његов четврти постулат.

Четврти постулат : да би се ослободио квадратног корена у релативистичкој енергетској формули, Дирац је предложио следећу структуру за Е ² :

Наравно, потребно је одредити алфа коефицијенте (α0, α1, α2, α3) да би то било тачно.

Диракова једначина

У свом компактном облику, Диракова једнаџба се сматра једном од најлепших математичких једначина на свету:

Слика 2. Једнаџба Дирац-а у компактном облику. Извор: Ф. Запата.

И тада постаје јасно да константне алфа не могу бити скаларне количине. Једини начин да се постигне једнакост четвртог постулата јесте то што су оне сталне 4 × 4 матрице, познате као Дирац-ове матрице:

Одмах примећујемо да таласна функција престаје да буде скаларна функција и постаје вектор са четири компоненте које називамо спинором:

Атом Дирац-Јордан

Да би се добио атомски модел потребно је прећи из једначине слободног електрона у ону електрона у електромагнетном пољу произведеном од атомског језгра. Ова интеракција се узима у обзир укључивањем скаларног потенцијала Φ и векторског потенцијала А у Хамилтонијану:

Таласна функција (спинора) која је резултат укључивања овог Хамилтонијана има следеће карактеристике:

- Испуњава посебну релативност јер узима у обзир унутрашњу енергију електрона (први термин релативистичког Хамилтонијана)

- Има четири решења која одговарају четири компоненте спинора

- Прва два решења одговарају једном спин + ½, а другом на спин - ½

- Коначно, друга два решења предвиђају постојање антиматерије, јер одговарају оном поситрона са супротним спиновима.

Велика предност Дирацсове једнаџбе је да се исправке основног Сцхродингеровог Хамилтонијана Х (о) могу рашчланити на неколико појмова које ћемо показати у наставку:

У претходном изразу В је скаларни потенцијал, пошто је векторски потенцијал А једнак нули, ако се претпостави да је централни протон непомичан и да се стога не појављује.

Разлог да су Дирац-ове корекције Сцхродингерових решења у таласној функцији суптилне. Они произилазе из чињенице да су последња три термина исправљеног Хамилтонијана подељена брзином ц у светлости, огромним бројем, што ове изразе чини бројчано малим.

Релативистичке корекције енергетског спектра

Помоћу Дирац-Јорданове једнаџбе проналазимо исправке енергетског спектра електрона у атому водоника. Корекције енергије у атомима са више од једног електрона у приближном облику такође су пронађене кроз методологију познату као теорија пертурбације.

Слично томе, Дирац-ов модел омогућава нам да нађемо корекцију фине структуре у енергетским нивоима водоника.

Међутим, још суптилније корекције попут хиперфине структуре и Ламбсовог помака добијају се из напреднијих модела као што је теорија квантног поља која је рођена управо из доприноса Дирац-овог модела.

Следећа слика показује како изгледају Диракове релативистичке корекције енергетских нивоа:

Слика 3. Корекције Дирацовог модела на нивоима атома водоника. Извор: Викимедиа Цоммонс.

На пример, решења Дирац-ове једнаџбе правилно предвиђају примећени помак на нивоу 2с. То је добро позната корекција фине структуре у Лиман-алфа линији водоничног спектра (види слику 3).

Успут, фина структура је назив дат у атомској физици за удвостручавање линија емисионог спектра атома, што је директна последица електронског спиновања.

Слика 4. Подјела фине структуре за основно стање н = 1 и прво побуђено стање н = 2 у атому водоника. Извор: Р Вирната. Релативистичке корекције атома налик водонику. Ресеарцхгате.нет

Чланци од интереса

Атомски модел Де Броглие.

Чадвиков атомски модел.

Хеисенбергов атомски модел.

Перинов атомски модел.

Тхомсон-ов атомски модел.

Далтонов атомски модел.

Сцхродингеров атомски модел.

Атомски модел Демокрита.

Боров атомски модел.

Референце

1. Атомска теорија. Опоравак са википедиа.орг.
2. Електронски магнетни тренутак. Опоравак са википедиа.орг.
3. Куанта: Приручник са концептима. (1974). Окфорд Университи Пресс. Опоравак са Википедиа.орг.
4. Атомски модел Дирац Јордан. Опоравак од прези.цом.
5. Нови квантни универзум. Цамбридге Университи Пресс. Опоравак са Википедиа.орг.