ПЕРМУТАЦИЈЕ БЕЗ ПОНАВЉАЊА: ФОРМУЛЕ, ДОКАЗ, ВЈЕЖБЕ, ПРИМЈЕРИ - ДУДАС - 2025

Пермутација без понављања од н елемената различите групе различитих елемената који се могу добити од не понавља било који елемент, само варирањем редослед пласмана елемената.

Да бисте сазнали број пермутација без понављања, користи се следећа формула:

Пн = н!

Који би се проширио би био Пн = н! = н (н - 1) (н - 2)… (2) (1).

Дакле, у претходном практичном примеру она би се примењивала на следећи начин:

П4 = 4 * 3 * 2 * 1 = 24 различита четвороцифрени број.

То су укупно 24 низа: 2468, 2486, 2648, 2684, 2846, 2864, 4268, 4286, 4628, 4682, 4826, 4862, 6248, 6284, 6428, 6482, 6824, 6842, 8246, 8264, 8426, 8462, 8624, 8642.

Као што се види, ни у једном случају нема понављања, а ради се о 24 различита броја.

Демо и формуле

24 аранжмани од 4 различите фигуре

Анализираћемо конкретније пример 24 различита четвороцифрени низ који се могу формирати цифрама броја 2468. Број низова (24) може бити познат на следећи начин:

Имате 4 опције за одабир прве цифре, што оставља 3 опције за избор друге. Две цифре су већ постављене, а преостале су две опције за избор треће цифре. Последња цифра има само једну опцију избора.

Стога је број пермутација, означених са П4, добијен производом опција избора у свакој позицији:

П4 = 4 * 3 * 2 * 1 = 24 различита четвороцифрени број

Уопште, број различитих пермутација или аранжмана који се могу извести са свих н елемената датог скупа је:

Пн = н! = н (н - 1) (н - 2)… (2) (1)

Израз н! познато је као н фактографски и значи производ свих природних бројева који леже између броја н и броја један, укључујући оба.

12 Распоред 2 различите фигуре

Претпоставимо сада да желите знати колико пермутација или двоцифрених бројева могу да се формирају помоћу цифара броја 2468.

То би било укупно 12 аранжмана: 24, 26, 28, 42, 46, 48, 62, 64, 68, 82, 84, 86

Имате 4 опције за одабир прве цифре, која оставља 3 цифре за одабир друге. Због тога се број пермутација 4 цифре узете две по две, означене са 4П2, добија се продуктом опција избора у свакој позицији:

4П2 = 4 * 3 = 12 различитих двоцифрених бројева

Уопште, број различитих пермутација или аранжмана који се могу извести са р елементима н у датом скупу је:

нПр = н (н - 1) (н - 2)…

Горњи израз је скраћен пре играња н !. За попуњавање н! из ње би требало да напишемо:

н! = н (н - 1) (н - 2)… (н - р)… (2) (1)

Чимбеници које додајемо заузврат представљају факторски фактор:

(н - р)… (2) (1) = (н - р)!

Тако,

н! = н (н - 1) (н - 2)… (н - р)… (2) (1) = н (н - 1) (н - 2)… (н - р)!

Одавде

н! / (н - р)! = н (н - 1) (н - 2)… = нПр

Примери

Пример 1

Колико различитих комбинација слова са 5 слова може да се изгради са словима речи КЉУЧ?

Желимо пронаћи број различитих комбинација слова од 5 слова које се могу саставити помоћу 5 слова речи КЉУЧ; то јест, број низова са 5 слова који укључују сва слова доступна у речи КЕИ.

Број од 5 слова слова = П5 = 5! = 5 * 4 * 3 * 2 * 1 = 120 различитих комбинација слова од 5 слова.

То би били: ЦЛАВЕ, ВЕЛАЦ, ЛЦАЕВ, ВЛЕАЦ, ЕЦВЛАЦ… до 120 различитих комбинација слова.

Пример 2

Имате 15 нумерисаних куглица и желите да знате колико различитих група од 3 куглице се може направити са 15 нумерисаних куглица?

Желите да пронађете број група од 3 куглице које можете направити са 15 нумерисаних куглица.

Број група од 3 куглице = 15П3 = 15! / (15 - 3)!

Број група од 3 куглице = 15 * 14 * 13 = 2730 група од 3 куглице

Решене вежбе

Вежба 1

Воћарница има изложбени штанд који се састоји од низа претинаца који се налазе у улазном холу просторија. У једном дану, воћњак купиће на продају: наранџе, банане, ананас, крушке и јабуке.

а) На колико различитих начина требате да наручите изложбени штанд?

б) Колико различитих начина мора да наложи постоље ако је уз споменуто воће (5) тог дана добио и манго, брескве, јагоде и грожђе (4)?

а) Желимо пронаћи више различитих начина да наручимо све воће у приказном реду; то јест, број аранжмана од 5 воћних предмета који укључују све воће доступно за продају тога дана.

Број аранжирања штанда = П5 = 5! = 5 * 4 * 3 * 2 * 1

Број аранжмана штанда = 120 начина презентације штанда

б) Желимо да нађемо број различитих начина да наручимо све плодове у приказном реду ако су додате 4 додатне ставке; то јест, број аранжмана од 9 воћних предмета који укључују све воће доступно за продају тога дана.

Број аранжирања штанда = П9 = 9! = 9 * 8 * 7 * 6 * 5 * 4 * 3 * 2 * 1

Број аранжмана штанда = 362.880 начина презентације штанда

Вежба 2

У малом продаваоници хране налази се земљиште с довољно простора за паркирање 6 возила.

а) Колико различитих начина наручивања возила на плацу земљишта може бити изабрано?

б) Претпоставимо да се прикупи непрекидно земљиште чија димензија омогућава паркирање 10 возила.Колико различитих облика распореда возила се сада може одабрати?

а) Желимо пронаћи број различитих начина наручивања 6 возила која се могу сместити на земљишној парцели.

Број аранжмана за 6 возила = П6 = 6! = 6 * 5 * 4 * 3 * 2 * 1

Број аранжмана за 6 возила = 720 различитих начина наручивања 6 возила на земљишној парцели.

б) Желимо пронаћи број различитих начина наручивања 10 возила која се могу сместити на парцели након проширивања парцеле.

Број аранжмана од 10 возила = П10 = 10!

Број аранжмана возила = 10 * 9 * 8 * 7 * 6 * 5 * 4 * 3 * 2 * 1

Број аранжмана од 10 возила = 3,628,800 различитих начина наручивања 10 возила на земљишној парцели.

Вежба 3

Цвјећар има цвијеће 6 различитих боја за прављење цвјетних застава нација које имају само 3 боје. Ако се зна да је редослед боја важан у заставама,

а) Колико различитих застава од 3 боје се може направити са 6 доступних боја?

б) Продавац купује цвеће са 2 додатне боје за 6 које је већ имао, сада колико различитих застава од 3 боје може да се направи?

ц) Пошто имате 8 боја, одлучите да проширите свој асортиман застава. Колико различитих 4-боја застава можете направити?

д) Колико две боје?

а) Желимо пронаћи број различитих застава од 3 боје које се могу направити одабиром између 6 доступних боја.

Број 3-боја боја = 6П3 = 6! / (6 - 3)!

Број тробојних застава = 6 * 5 * 4 = 120 застава

б) Желите пронаћи број различитих застава од 3 боје које можете направити одабиром једне од 8 доступних боја.

Број 3-боја боја = 8П3 = 8! / (8 - 3)!

Број 3-боја застава = 8 * 7 * 6 = 336 застава

ц) Број различитих застава у 4 боје које се могу направити одабиром од 8 расположивих боја мора се израчунати.

Број 4-боја боја = 8П4 = 8! / (8 - 4)!

Број 4 боја у боји = 8 * 7 * 6 * 5 = 1680 застава

д) Желите одредити број различитих двобојних застава које можете направити одабиром од 8 доступних боја.

Број двобојних застава = 8П2 = 8! / (8 - 2)!

Број двобојних застава = 8 * 7 = 56 застава

Референце

1. Боада, А. (2017). Употреба пермутације са понављањем као подучавање експеримената. Магазин Виват Ацадемиа. Опоравак од ресеарцхгате.нет.
2. Цанавос, Г. (1988). Вероватноћа и статистика. Примене и методе. МцГрав-Хилл / Интертерамерицана де Мекицо СА де ЦВ
3. Стакло, Г .; Станлеи, Ј. (1996). Статистичке методе које се не примењују у друштвеним наукама. Прентице Халл Хиспаноамерицана СА
4. Спиегел, М .; Степхенс, Л. (2008). Статистика. Четврто изд. МцГрав-Хилл / Интерамерицана де Мекицо СА
5. Валполе, Р .; Миерс, Р .; Миерс, С .; Ка, Ка. (2007). Вероватноћа и статистика за инжењере и научнике. Осмо издање Пеарсон Едуцатион Интернатионал Прентице Халл.
6. Вебстер, А. (2000). Статистички подаци примењени на пословање и привреду. Треће изд. МцГрав-Хилл / Интерамерицана СА
7. (2019). Пермутација. Опоравак са ен.википедиа.орг.