УСЛОВНА ВЕРОВАТНОЋА: ФОРМУЛА И ЈЕДНАЧИНЕ, СВОЈСТВА, ПРИМЕРИ - ДУДАС

Условна вероватноћа је могућност наступања одређеног догађаја, с обзиром да друга јавља као услов. Ове додатне информације могу (или не морају) модификовати перцепцију да ће се нешто догодити.

На пример, можемо се запитати: "Колика је вероватноћа да ће данас падати киша, с обзиром на то да два дана није падала киша?" Догађај за који желимо знати колика је вероватноћа је да данас пада киша, а додатне информације које би условљавале одговор су да „два дана није падала киша“.

Слика 1. Вероватноћа да ће данас падати киша имајући у виду да је јуче падала киша такође је пример условне вероватноће. Извор: Пикабаи.

Нека се простор вероватноће састоји од Ω (пример узорка), ℬ (случајни догађаји) и П (вероватноћа сваког догађаја), плус догађаја А и Б који припадају ℬ.

Условна вероватноћа да ће се А догодити, с обзиром да се догодио Б, који је означен као П (А│Б), дефинише се на следећи начин:

П (А│Б) = П (А∩Б) / П (Б) = П (А и Б) / П (Б)

Где: П (А) је вероватноћа појаве А, П (Б) је вероватноћа догађаја Б и разликује се од 0, а П (А∩Б) је вероватноћа пресека између А и Б, тј. , вероватноћа да се догоди оба догађаја (заједничка вероватноћа).

Ово је израз за Бајесову теорему примењену на два догађаја, коју је 1763. године предложио енглески теолог и математичар Тхомас Баиес.

Својства

-Сва условна вероватноћа је између 0 и 1:

0 ≤ П (А│Б) ≤ 1

-Вероватноћа да ће се догодити А, с обзиром да се наведени догађај догоди, очигледно је 1:

П (А│А) = П (А∩А) / П (А) = П (А) / П (А) = 1

-Ако су два догађаја искључива, односно догађаји који се не могу истовремено догодити, онда је условна вероватноћа да се један од њих догоди 0, јер је пресек нула:

П (А│Б) = П (А∩Б) / П (Б) = 0 / П (Б) = 0

-Ако је Б подскуп А, условна вероватноћа је такође 1:

П (Б│А) = П (А∩Б) / П (А) = 1

Важно

П (А│Б) генерално није једнак П (Б│А), зато морамо бити опрезни да не изменимо догађаје приликом проналажења условне вероватноће.

Опште правило множења

Много пута желите да пронађете заједничку вероватноћу П (А∩Б), а не условну вероватноћу. Затим, кроз следећу теорему имамо:

П (А∩Б) = П (А и Б) = П (А│Б). П (Б)

Теорема се може проширити за три догађаја А, Б и Ц:

П (А∩Б∩Ц) = П (А и Б и Ц) = П (А) П (Б│А) П (Ц│А∩Б)

А такође се за различите догађаје, као што су А ₁ , А ₂ , А ₃ и више, може изразити на следећи начин:

П (А ₁ ∩ А ₂ ∩ А ₃ … ∩ А _н ) = П (А ₁ ). П (А ₂ АА ₁ ). П (А ₃ │А ₁ ∩ А ₂ )… П (А _н ││А ₁ ∩ А ₂ ∩… А _н-1 )

Када се догађаји догађају у редоследу и кроз различите фазе, прикладно је да се подаци организују у дијаграму или табели. То олакшава визуелизацију опција достизања тражене вероватноће.

Примјери су дијаграм стабла и табела непредвиђених догађаја. Из једног од њих можете градити и други.

Примери условне вероватноће

Погледајмо неке ситуације у којима су вероватноће једног догађаја измењене појавом другог:

- Пример 1

У слаткој продавници се продају две врсте колача: јагода и чоколада. Регистровањем склоности 50 клијената оба пола утврђене су следеће вредности:

-27 жена, од којих 11 воли јагодни колач и 16 чоколада.

-23 мушкарци: 15 бирају чоколаду и 8 јагода.

Вероватноћа да купац одабере чоколадни колач може се утврдити применом Лаплацеовог правила, према којем је вероватноћа било ког догађаја:

П = број повољних догађаја / укупан број догађаја

У овом случају од 50 купаца укупно 31 преферира чоколаду, па би вероватноћа била П = 31/50 = 0,62. Односно, 62% купаца преферира чоколадни колач.

Али, да ли би било другачије да је клијент жена? То је случај условне вероватноће.

Табела непредвиђених догађаја

Користећи ову табелу непредвиђених стања, збројеви се лако приказују:

Тада се примећују повољни случајеви и примењује се Лапласово правило, али најпре дефинишемо догађаје:

-Б је догађај "женског купца".

- Жена је догађај „преферира чоколадни колач“.

Идемо до колоне са ознаком "жене" и тамо видимо да их је укупно 27.

Тада се повољан случај тражи у реду "чоколада". Постоји 16 ових догађаја, па је зато вјероватно тражена вјероватноћа:

П (А│Б) = 16/27 = 0,5924

59,24% женских купаца преферира чоколадни колач.

Ова вредност се поклапа када је успоређујемо са почетно датој дефиницијом условне вероватноће:

П (А│Б) = П (А∩Б) / П (Б)

Обавезно користимо Лаплацеово правило и вредности табеле:

П (Б) = 27/50

П (А и Б) = 16/50

Где су П (А и Б) вероватноћа да купац преферира чоколаду а жена. Сада су вредности замењене:

П (А│Б) = П (А и Б) / П (Б) = (16/50) / (27/50) = 16/27 = 0,5924.

А доказано је да је резултат исти.

- Пример 2

У овом примеру се примењује правило множења. Претпоставимо да су у продавници панталоне у три величине: мале, средње и велике.

У групи са укупно 24 панталоне, од којих је 8 сваке величине и све су помешане, колика би била вероватноћа да се изваде две и да су обе мале?

Јасно је да вероватноћа скидања малог панталона из првог покушаја износи 8/24 = 1/3. Сада је друго вађење условљено првим догађајем, јер приликом скидања панталона више нема 24, већ 23. А ако се скину мале панталоне, има их 7 уместо 8.

Евент А повлачи једне мале панталоне, након што је извукао још једну при првом покушају. А догађај Б је онај који први пут има мале панталоне. Тако:

П (Б) = 1/3; П (А│Б) = 7/24

На крају, користећи правило множења:

П (А∩Б) = (7/24). (1/3) = 7/72 = 0,097

Вежба решена

У студији тачности на комерцијалним авионским летовима доступни су следећи подаци:

-П (Б) = 0,83, је вероватноћа да ће авион на време полетети.

-П (А) = 0,81, је вероватноћа слетања на време.

-П (Б∩А) = 0,78 је вероватноћа да лет стигне на време полетања на време.

Од њега се тражи да израчуна:

а) Колика је вероватноћа да ће авион слетети на време с обзиром да је полетео на време?

б) Да ли је горња вероватноћа иста као и вероватноћа коју сте напустили на време ако сте успели да слетате на време?

ц) И на крају: колика је вероватноћа да ће стићи на време с обзиром да није напустила на време?

Слика 2. Тачност на комерцијалним летовима је важна, јер кашњења стварају губитке у милионима долара. Извор: Пикабаи.

Решење за

За одговор на питање користи се дефиниција условне вероватноће:

П (А│Б) = П (А∩Б) / П (Б) = П (А и Б) / П (Б) = 0,78 /0,83 = 0,9398

Решење б

У овом случају се размењују догађаји у дефиницији:

П (Б│А) = П (А∩Б) / П (А) = П (А и Б) / П (А) = 0,78 /0,81 = 0,9630

Имајте на уму да се ова вероватноћа мало разликује од претходне, као што смо раније истакли.

Решење ц

Вероватноћа да не одете на време је 1 - П (Б) = 1 - 0,83 = 0,17, назваћемо га П (Б ^Ц ), јер је то комплементарни догађај који треба на време почети. Тражена условна вероватноћа је:

П (А│Б ^Ц ) = П (А∩Б ^Ц ) / П (Б ^Ц ) = П (А и Б ^Ц ) / П (Б ^Ц )

С друге стране:

П (А∩Б ^Ц ) = П (слетање на време) - П (слетање на време и полетање на време) = 0,81-0,78 = 0,03

У овом случају, тражена условна вероватноћа је:

П (А│Б ^Ц ) = 0,03 / 0,17 = 0,1765

Референце

Цанавос, Г. 1988. Вероватноћа и статистика: Примене и методе. МцГрав Хилл.
Деворе, Ј. 2012. Вероватноћа и статистика за инжењерство и науку. 8тх. Едитион. Ценгаге.
Липсцхутз, С. 1991. Сцхаум серија: Вероватноћа. МцГрав Хилл.
Обрегон, И. 1989. Теорија вероватноће. Редакција Лимуса.
Валполе, Р. 2007. Вероватноћа и статистика за инжењерство и науке. Пеарсон.
Википедиа. Условна вероватноћа. Опоравак од: ес.википедиа.орг.

УСЛОВНА ВЕРОВАТНОЋА: ФОРМУЛА И ЈЕДНАЧИНЕ, СВОЈСТВА, ПРИМЕРИ - ДУДАС - 2025