ТЕОРИЈСКА ВЕРОВАТНОЋА: КАКО ТО ДОБИТИ, ПРИМЕРИ, ВЕЖБЕ - ДУДАС - 2025

Теоријска (или Лаплаце) вероватноћа да се догађај Е дешава да припада узорка простора С, у којој сви догађаји имају исту вероватноћу настанка, је дефинисано у математичкој нотацији као: П (Е) = Н (Е) / Н (С)

Где је П (Е) вероватноћа, дата као квоцијент између укупног броја могућих исхода догађаја Е, који називамо н (Е), дељено са укупним бројем Н (С) могућих исхода у узорку простора С.

Слика 1. У бацању шестеростране матрице, теоријска вероватноћа да је трокрака глава на врху је ⅙. Извор: Пикабаи.

Теоријска вероватноћа је реални број између 0 и 1, али често се изражава као проценат, у том случају ће вероватноћа бити вредност између 0% и 100%.

Израчунавање вероватноће да се неки догађај догоди веома је важан у многим областима, попут трговине, осигуравајућих друштава, коцкања и многих других.

Како доћи до теоријске вероватноће?

Илустративни случај су случајеви томболе или лутрије. Претпоставимо да је издато 1.000 карата да би се наградио паметни телефон. Пошто је извлачење насумично постављено, било која од улазница има једнаке шансе да победи.

Да бисте пронашли вероватноћу да је особа која купи карту са бројем 81 победила, врши се следеће теоријско израчунавање вероватноће:

П (1) = 1 / 1.000 = 0.001 = 0.1%

Горњи резултат тумачи се на следећи начин: уколико се извлачење понови бесконачно много пута, сваких 1000 пута улазница 81 би се у просеку бирала једном.

Ако из неког разлога неко купи све улазнице, сигурно је да ће освојити награду. Вероватноћа да освојите награду ако имате све улазнице израчунава се на следећи начин:

П (1.000) = 1.000 / 1.000 = 1 = 100%.

То јест, та вероватноћа 1 или 100% значи да је потпуно сигурно да ће се тај резултат и догодити.

Ако неко поседује 500 карата, шансе за победу или пораз су исте. Теоретска вероватноћа добијања награде у овом случају се израчунава на следећи начин:

П (500) = 500 / 1.000 = ½ = 0.5 = 50%.

Онај ко не купи ниједну карту нема шансе за победу и његова теоријска вероватноћа је одређена на следећи начин:

П (0) = 0 / 1.000 = 0 = 0%

Примери

Пример 1

Имате новчић са лицем на једној страни и штитом или печатом на другој. Када се новчић баци, која је теоретска вероватноћа да ће се појавити на глави?

П (лице) = н (лице) / Н (лице + штит) = ½ = 0,5 = 50%

Резултат се тумачи на следећи начин: ако се направи огроман број бацања, у просеку на свака два бацања један од њих би дигао главе.

Процентуално, интерпретација резултата је да би прављење бесконачно великог броја бацања, у просеку од 100 њих 50 имало за последицу главе.

Пример 2

У кутији су 3 плава мермера, 2 црвена мермера и 1 зелени. Која је теоретска вероватноћа да кад извадите мермер из кутије он ће бити црвен?

Слика 2. Вероватноћа вађења обојених мермера. Извор: Ф. Запата.

Вероватноћа да се појави црвена је:

П (црвена) = Број повољних случајева / Број могућих случајева

Односно:

П (црвена) = Број црвених мермера / Укупан број мермера

Коначно, вероватноћа цртања црвеног мермера је:

П (црвена) = 2/6 = ⅓ = 0,3333 = 33,33%

Иако је вероватноћа да се при цртању зеленог мермера гласи:

П (зелена) = ⅙ = 0,1666 = 16,66%

Најзад, теоријска вероватноћа добијања плавог мермера у слепој екстракцији је:

П (плава) = 3/6 = ½ = 0,5 = 50%

Односно, за свака два покушаја резултат ће бити плав у једном од њих, а други у другом покушају, под претпоставком да се екстраховани мермер замени и да је број покуса веома, веома велик.

Вежбе

Вежба 1

Одредите вероватноћу да ће ваљање матрице добити вредност мању или једнаку 4.

Решење

Да би се израчунала вероватноћа да ће се овај догађај десити, примењиваће се дефиниција теоријске вероватноће:

П (≤4) = Број повољних случајева / Број могућих случајева

П (≤5) = 5/6 = = 83,33%

Вежба 2

Пронађите вероватноћу да ће се на два узастопна бацања нормалне шестеростране матрице 5 преврнути 2 пута.

Решење

Да бисте одговорили на ову вежбу, направите табелу у којој ће се приказати све могућности. Прва цифра означава резултат прве матрице, а друга резултат друге.

За израчунавање теоријске вероватноће морамо знати укупан број могућих случајева, у овом случају, као што је видљиво из претходне табеле, постоји 36 могућности.

Такође, гледајући табелу, закључује се да је број случајева повољних за случај да у два узастопна лансирања изађе 5 само 1, означен бојом, тако да је вероватноћа да се овај догађај догоди:

П (5 к 5) = 1/36.

До овог резултата је могло доћи и коришћењем једног од својстава теоријске вероватноће, који каже да је комбинована вероватноћа два независна догађаја производ њихових појединачних вероватноћа.

У овом случају вероватноћа да ће први бацање бацити 5 је ⅙. Друго бацање потпуно је независно од првог, па је вјероватноћа да се 5 ваља у другом такође је тхе. Дакле, комбинована вероватноћа је:

П (5 × 5) = П (5) П (5) = (1/6) (1/6) = 1/36.

Вежба 3

Пронађите вјероватноћу да се број мањи од 2 котрља на првом бацању, а број већи од 2 ваља у другом.

Решење

Опет се мора саставити табела могућих догађаја, где су подвучени они у којима је прво бацање мање од 2, а у другом веће од 2.

Укупно постоје 4 могућности од укупно 36. То јест, вероватноћа овог догађаја је:

П (<2;> 2) = 4/36 = 1/9 = 0,1111 = 11,11%

Користећи теорему вероватноће која каже:

Добије се исти резултат:

П (<2) П (> 2) = (1/6) (4/6) = 4/36 = 0,1111 = 11,11%

Вредност добијена овом процедуром подудара се са претходним резултатом, путем теоријске или класичне дефиниције вероватноће.

Вежба 4

Колика је вероватноћа да када баците две коцке збир вредности је 7.

Решење

Да би се пронашло решење у овом случају, направљена је табела могућности у којој су случајеви који испуњавају услов да збир вредности буде 7, означени бојом.

Гледајући табелу, може се пребројати 6 могућих случајева, тако да је вероватноћа:

П (И + ИИ: 7) = 6/36 = 1/6 = 0,1666 = 16,66%

Референце

1. Цанавос, Г. 1988. Вероватноћа и статистика: Примене и методе. МцГрав Хилл.
2. Деворе, Ј. 2012. Вероватноћа и статистика за инжењерство и науку. 8тх. Едитион. Ценгаге.
3. Липсцхутз, С. 1991. Сцхаум серија: Вероватноћа. МцГрав Хилл.
4. Обрегон, И. 1989. Теорија вероватноће. Редакција Лимуса.
5. Валполе, Р. 2007. Вероватноћа и статистика за инжењерство и науке. Пеарсон.