КОНОП (ГЕОМЕТРИЈА): ДУЖИНА, ТЕОРЕМА И ВЕЖБЕ - МАТХС - 2025

Акорд , у геометрији равни, је линија сегмент који спаја две тачке на кривој. Линија која садржи овај сегмент каже се да је секантна линија кривуље. То је често круг, али акорди се сигурно могу цртати и на многим другим облинама, попут елипса и парабола.

На слици 1 са леве стране је крива, којој припадају тачке А и Б. Акорд између А и Б је зелени сегмент. Са десне стране је обим и једна његова струна, јер је могуће цртати бесконачности.

Слика 1. Лево је акорд произвољне кривуље, а десно хорда кружнице. Извор: Викимедиа Цоммонс.

У обиму је посебно занимљив његов пречник, који је познат и као главни акорд. То је акорд који увек садржи средину обима и мери двоструко полупречник.

Следећа слика приказује радијус, пречник, акорд, као и лук обима. Исправно препознавање сваког од њих је важно приликом решавања проблема.

Слика 2. Елементи обима. Извор: Викимедиа Цоммонс.

Дужина акордног круга

На сликама 3а и 3б можемо израчунати дужину акорда у кругу. Имајте на уму да је троугао увек формиран са две једнаке стране (изосцеле): сегменти ОА и ОБ, који мере Р, полупречник обима. Трећа страна троугла је сегмент АБ, зван Ц, што је тачно дужина акорда.

Неопходно је повући линију окомиту на акорд Ц да би поделили кут θ који постоји између два радијуса и чија је врх средиште обима. Ово је централни угао - јер је његова вертикала центар - а бисекторска линија је такође секант ободу.

Одмах се формирају два троугла, чија хипотенуза мери Р. Пошто је бисектор, а са њим и пречник, акорд дели на два једнака дела, испоставило се да је једна нога половица Ц, као што је наведено у Слика 3б.

Из дефиниције синуса угла:

син (θ / 2) = супротна нога / хипотенуза = (Ц / 2) / Р

Тако:

син (θ / 2) = Ц / 2Р

Ц = 2Р син (θ / 2)

Слика 3. Трокут формиран од два радијуса и акорд кружнице је изосцелес (слика 3), јер има две једнаке стране. Бисектор га дели на два троугла (Слика 3б). Извор: приредио Ф. Запата.

Теорем жице

Теорема стрингова иде овако:

Следећа слика приказује два акорда истог обима: АБ и ЦД који се пресечу у тачки П. У акорду АБ су одређени сегменти АП и ПБ, док су у акорду ЦД и ПД акорд. Према теорему:

АП. ПБ = ЦП. П.С.

Слика 4. Теорем акорда круга. Извор: Ф. Запата.

Решене вежбе жица

- Вежба 1

Круг има акорд од 48 цм, што је 7 цм од центра. Израчунајте површину круга и обод круга.

Решење

Да бисте израчунали површину круга А, довољно је знати полумјер обима у квадрату, јер је тачно:

А = π.Р ²

Сада је лик који се формира према датим подацима прави троугао, а ноге су му 7, односно 24 цм.

Слика 5. Геометрија за решену вежбу 1. Извор: Ф. Запата.

Стога, да пронађе вредност Р ² , на Питагорине теореме ц ² = а ² + б ² се наноси директно , јер Р је Хипотенуза троугла:

Р ² = (7 цм) ² + (24 цм) ² = 625 цм ²

Дакле, тражено подручје је:

А = π. 625 цм ² = 1963,5 цм ²

Што се тиче обода или дужине Л обима, израчунава се са:

Л = 2π. Р

Замјена вриједности:

Р = 25625 цм ² = 25 цм

Л = 2π. 25 цм = 157,1 цм.

- Вежба 2

Одредите дужину акорда круга чија је једначина:

к ² + и ² - 6к - 14и -111 = 0

Координате средине тачке акорда су познате као П (17/2; 7/2).

Решење

Средња тачка акорда П не припада обиму, већ крајњим тачкама акорда. Проблем се може решити помоћу раније изречене теореме низа, али најпре је прикладно написати једначину обима у каноничком облику, одредити његов радијус Р и његов центар О.

Корак 1: добити канонску једначину обима

Канонска једначина круга са центром (х, к) је:

(кх) ² + (ик) ² = Р ²

Да бисте га добили, морате попунити квадрате:

(к ² - 6к) + (и ² - 14и) -111 = 0

Имајте на уму да су 6к = 2. (3к) и 14и = 2. (7и), тако да је претходни израз преписан овако, остајући непромењен:

(к ² - 6к + 3 ² -3 ² ) + (и ² - 14и + 7 ² -7 ² ) -111 = 0

И сада, сећајући се дефиниције изванредног производа (аб) ² = а ² - 2аб + б ² , можете написати:

(к - 3) ² - 3 ² + (и - 7) ² - 7 ² - 111 = 0

= (к - 3) ² + (и - 7) ² = 111 + 3 ² + 7 ² → (к - 3) ² + (и - 7) ² = 169

Опсег има центар (3,7) и полумјер Р = √169 = 13. Следећа слика приказује графикон обима и акорде који ће се користити у теореми:

Слика 6. Графички приказ опсега решене вежбе 2. Извор: Ф. Запата помоћу мрежног калкулатора за графички приказ Матхваи.

Корак 2: одредите сегменте који ће се користити у теорији теорије

Сегменти који ће се користити су жице ЦД и АБ, према слици 6, оба су исечена у тачки П, дакле:

ЦП. ПД = АП. ПБ

Сада ћемо пронаћи удаљеност између тачака О и П, јер ће нам ово дати дужину ОП сегмента. Ако овој дужини додамо радијус, имаћемо сегмент ЦП.

Удаљеност д _ОП између две координатне тачке (к ₁ , и ₁ ) и (к ₂ , и ₂ ) је:

д _ОП ² = ОП ² = (к ₂ - к ₁ ) ² + (и ₂ - и ₁ ) ² = (3- 17/2) ² + (7- 7/2) ² = 121/4 + 49/4 = 170/4

д _ОП = ОП = √170 / 2

Са свим добијеним резултатима плус графикон конструирамо следећу листу сегмената (види слику 6):

ЦО = 13 цм = Р

ОП = 70170/2 цм

ЦП = ОП + Р = 13 + √170 / 2 цм

ПД = ОД - ОП = 13 - √170 / 2 цм

АП = ПБ

2.АП = дужина акорда

Замјена у теорији теорије:

ЦП. ПД = АП. ПБ = = АП ²

= АП ²

253/2 = АП ²

АП = √ (253/2)

Дужина низа је 2.АП = 2 (√253 / 2) = √506

Може ли читалац да проблем реши на други начин?

Референце

1. Балдор, А. 2004. Геометрија равнина и свемира са тригонометријом. Публицационес Цултурал СА де ЦВ Мекицо.
2. Ц-К12. Дужина акорда. Опоравак од: цк12.орг.
3. Есцобар, Ј. Тхе Цирцумференце. Опоравак од: математицас.удеа.еду.цо.
4. Виллена, М. Цоницас. Опоравак од: дспаце.еспол.еду.ец.
5. Википедиа. Коноп (геометрија). Опоравак од: ес.википедиа.орг.