АЛГЕБРИЧНИ ДЕРИВАТИ (СА ПРИМЕРИМА) - МАТХС - 2025

У алгебраические деривати састоје студије деривата у случају алгебраических функциј. Порекло појма деривата датира још из древне Грчке. Развој овог појма мотивисан је потребом да се реше два важна проблема, један из физике, а други из математике.

У физици, дериват решава проблем одређивања тренутне брзине покретног предмета. У математици вам омогућава да нађете тангенцијалну линију до кривуље у датој тачки.

Иако је заиста много више проблема који се решавају употребом деривата, као и његове генерализације, резултати који су настали након увођења његовог концепта.

Пионири диференцијалног прорачуна су Невтон и Леибниз. Пре него што дамо формалну дефиницију, развићемо идеју која стоји иза ње, са математичке и физичке тачке гледишта.

Дериват као нагиб тангенцијалне линије до кривуље

Претпоставимо да је граф функције и = ф (к) континуирани граф (без врхова или врхова или празнина), и нека је А = (а, ф (а)) на њему фиксна тачка. Желимо да пронађемо једначину тангенте линија према графу функције ф у тачки А.

Узмимо било коју другу тачку П = (к, ф (к)) на графу, близу тачке А, и нацртамо секантну линију која пролази кроз А и П. Секантна линија је линија која граф кривуље сече за једну или више бодова.

Да бисмо добили тангенцијалну линију коју желимо, морамо само израчунати нагиб, јер на линији већ имамо тачку: тачка А.

Ако помакнемо тачку П дуж графикона и приближимо се и приближимо тачки А, раније споменута секантна линија приближит ће се тангенцијалној линији коју желимо пронаћи. Узимајући границу када се „П тежи ка А“, обе линије ће се подударати, дакле и њихови нагиби.

Нагиб секантне линије је дат са

Рећи да се П приближава А еквивалентно је рећи да се „к“ приближава „а“. Дакле, нагиб тангенцијалне линије према графу ф у тачки А биће једнак:

Горњи израз је означен са ф '(а) и дефинисан је као дериват функције ф у тачки "а". Стога видимо да је аналитички дериват функције у тачки ограничење, али геометријски је то нагиб тангенцијалне линије према графу функције у тачки.

Сада ћемо на тај појам посматрати са становишта физике. Доћи ћемо до истог израза претходне границе, мада другачијим путем, чиме ћемо добити једногласност дефиниције.

Дериват као тренутна брзина покретног објекта

Погледајмо кратки пример шта значи тренутна брзина. Када се, на пример, каже да је аутомобил који је стигао до одредишта то урадио брзином од 100 км на сат, што значи да је за сат времена прешао 100 км.

То не мора нужно значити да је аутомобил током читавог сата вожње увек био на 100 км, брзиномер аутомобила могао је у неким тренуцима да означи мање или више. Ако сте имали потребу да се зауставите на семафору, ваша брзина је у том тренутку била 0 км. Међутим, након једног сата путовање је прешло 100 км.

То је оно што је познато као просечна брзина и дато је квоцијентом пређене удаљености и протеченим временом, као што смо управо видели. С друге стране, тренутна брзина је она која означава игле брзиномјера аутомобила у датом тренутку (времену).

Погледајмо ово сада опћенитије. Претпоставимо да се објекат помера дуж линије и да је овај помак представљен једначином с = ф (т), где променљива т мери време, а променљива с помицање, узимајући у обзир њен почетак у момент т = 0, у које време је такође нула, то јест, ф (0) = 0.

Ова функција ф (т) позната је као позициона функција.

Тражи се израз за тренутну брзину објекта у фиксном тренутку „а“. Овом брзином ћемо је означити с В (а).

Нека сваки тренутак буде блиски тренутном "а". У временском интервалу између "а" и "т", промена положаја објекта изражена је ф (т) -ф (а).

Просечна брзина у овом временском интервалу је:

Што је апроксимација тренутне брзине В (а). Ова апроксимација ће бити боља јер се т приближава "а". Тако,

Имајте на уму да је овај израз исти као онај добијен у претходном случају, али из другачије перспективе. Ово је оно што је познато као дериват функције ф у тачки „а“ и означен је ф '(а), као што је горе наведено.

Имајте на уму да уношењем промене х = ка имамо да када "к" тежи ка "а", "х" тежи 0, а претходна граница се трансформише (еквивалентно) у:

Оба израза су једнака, али понекад је боље користити један уместо другог, зависно од случаја.

Дериват функције ф у било којој тачки "к" која припада њеном домену тада се дефинише на опћенитији начин као

Најчешћа нотација за представљање деривације функције и = ф (к) је она коју смо управо видели (ф 'или и'). Међутим, друга широко коришћена нотација је Леибнизова нотација која је представљена као било који од следећих израза:

Пошто је дериват у основи граница, он може или не мора постојати, јер ограничења не постоје увек. Ако постоји, за одређену тачку се каже да је дотична функција различита.

Алгебраиц функција

Алгебарска функција је комбинација полинома сабирањем, одузимањем, производима, квоцијентима, снагама и радикалима.

Полином је израз форме

П _н = а _н к ^н + а _н-1 к ^н-1 + а _н-2 к ^н-2 +… + а ₂ к ² + а ₁ к + а ₀

Где је н природан број и све је _сам , са и = 0,1, …, н су рационални бројеви _и Н = 0. У овом случају се каже да је степен овог полинома н.

Следе примери алгебричних функција:

Експоненцијалне, логаритамске и тригонометријске функције нису овде укључене. Правила извода које ћемо видети следеће важе за функције у целини, али ограничаваћемо се и примењивати их у случају алгебричних функција.

Правила заобићи

Дериват константе

Наводи да је дериват константе нула. То јест, ако је ф (к) = ц, онда је ф '(к) = 0. На пример, дериват константне функције 2 једнак је 0.

Дериват моћи

Ако је ф (к) = к ^н , онда је ф '(к) = нк ^н-1 . На пример, дериват к ³ је 3к ² . Као последица овога, добијамо да је дериват функције идентитета ф (к) = к ф '(к) = 1к ^1-1 = к ⁰ = 1.

Други пример је следећи: нека је ф (к) = 1 / к ² , онда је ф (к) = к ^-2 и ф '(к) = - 2к ^-2-1 = -2к ^-3 .

Ово својство је такође валидних корена, будући да су корени рационалне моћи и горе наведено се такође може применити у том случају. На пример, дериват квадратног корена је дат са

Дериват сабирања и одузимања

Ако су ф и г диференцибилне функције у к, тада је сума ф + г такође различита и задовољено је да је (ф + г) '(к) = ф' (к) + г '(к).

Слично томе, имамо и то (фг) '(к) = ф' (к) -г '(к). Другим речима, дериват суме (одузимање) је збир (или одузимање) деривата.

Пример

Ако је х (к) = к ² + к-1, тада

х '(к) = (к ² ) + (к)' - (1) '= 2к + 1-0 = 2к + 1.

Изведено из производа

Ако су ф и г различите функције у к, тада је производ фг такође различит у к и тачно је да

(фг) '(к) = ф' (к) г (к) + ф (к) г '(к).

Као последица тога, слиједи да ако је ц константа и ф је диференцирајућа функција у к, онда је и цф различит у к и (цф) '(к) = цф' (Кс).

Пример

Ако је ф (к) = 3к (к ² +1), тада

ф '(к) = (3к)' (к ² +1) + (3к) (к ² +1) '= 3 (к)' (к ² +1) + 3к

= 3 (1) (к ² +1) + 3к = 3 (к ² +1) + 3к (2к) = 3к ² + 3 + 6к ²

= 9к ² +3.

Дериват квоцијента

Ако су ф и г различити на к и г (к) = 0, тада је ф / г такође различит у к, и тачно је да

Пример: ако је х (к) = к ³ / (к ² -5к), тада

х '(к) = / (к ⁵ -5к) ² = / (к ⁵ -5к) ² .

Правило ланца

Ово правило омогућава добијање састава функција. Наведите следеће: ако је и = ф (у) диференциран на у, иу = г (к) је диференциран на к, тада је композитна функција ф (г (к)) различита на к, и тачно је да је '= ф '(г (к)) г' (к).

Односно, дериват композитне функције је производ деривата спољне функције (спољни дериват) и деривата унутрашње функције (унутрашњи дериват).

Пример

Ако је ф (к) = (к ⁴ -2к) ³ , тада

ф '(к) = 3 (к ⁴ -2к) ² (к ⁴ -2к)' = 3 (к ⁴ -2к) ² (4к ³ -2).

Постоје такође и резултати за израчунавање деривата инверзне функције, као и генерализација на деривате вишег реда. Апликације су обимне. Међу њима се истичу његова корисност у проблемима оптимизације и максималне и минималне функције.

Референце

1. Аларцон, С., Гонзалез, М., & Куинтана, Х. (2008). Диференцијално рачунање. ТО М.
2. Цабрера, ВМ (1997). Прорачун 4000. Уреднички запис.
3. Цастано, ХФ (2005). Математика пре рачунања. Универзитет у Меделину.
4. Едуардо, НА (2003). Увод у рачуницу. Прагови.
5. Фуентес, А. (2016). ОСНОВНА МАТХ. Увод у рачуницу. Лулу.цом.
6. Пурцелл, ЕЈ, Ригдон, СЕ и Варберг, ДЕ (2007). Прорачун. Пеарсон Едуцатион.
7. Саенз, Ј. (2005). Диференцијални рачун (друго издање). Баркуисимето: Хипотенусе.
8. Тхомас, ГБ, и Веир, МД (2006). Прорачун: неколико променљивих. Пеарсон Едуцатион.