ИМПЛИЦИТНИ ДЕРИВАТИ: КАКО СЕ РЕШАВАЈУ И ВЕЖБЕ РЕШАВАЈУ - МАТХС - 2025

У имплицитних деривати су орудја у диференцијални техници примјењује на функције. Примењују се када није могуће, у регуларним методама, решити да ли ће зависна варијабла бити изведена. Овај зазор се врши као функција независне променљиве.

На пример, у изразу 3ки ³ - 2и + ки ² = ки, израз који дефинише "и" као функцију "к" не може се добити. Тако да се добијањем диференцијалног израза ди / дк може добити.

Како се решавају имплицитни деривати?

Да бисмо решили имплицитну изведеницу, почињемо са имплицитним изразом. На пример: 3ки ³ - 2и + ки ² - ки = 0. Ово је већ исправно решено, али то није неопходан услов за добијање деривата и у односу на к. Затим је сваки од елемената изведен поштујући ланчано правило за мешовите функције:

3ки ³ је састављена од две променљиве, па ће д (3ки ³ ) бити третиран као дериват производа функције.

д (3ки ³ ) / дк = 3и ³ + 3и ² (3к) и '= 3и ³ + 9ки ² и'

Где је елемент и 'познат као «и приме» и представља ди / дк

-2и Изведено је по закону КУ = К.У '

д (-2и) = -2 и '

ки ² претпоставља још један диференцијал састављен од производа функција

д (ки ² ) = и ² + 2кси и '

-ки се третира хомологно

д (-ки) = -и - к и '

Они су супституисани у једнакости, знајући да је дериват нуле нула.

3и ³ + 9ки ² и '- 2 и' + и ² + 2ки и '- и - к и' = 0

Елементи који имају појам и 'групирани су на једној страни једнакости

3и ³ + и ² - и = -9ки ² и '+ 2 и' + к и '

Заједнички фактор и 'извлачи се са десне стране једнакости

3и ³ + и ² - и = и '(-9ки ² + к + 2)

Коначно се брише израз који множи и '. На тај начин се добија израз који одговара имплицитном деривату и у односу на к.

и '= ди / дк = (3и ³ + и ² - и) / (- 9ки ² + к + 2)

Правило ланца

У имплицитној изведеници увек се поштује правило ланца. Сви различити изрази ће бити дати као функција независне променљиве Кс. Дакле, свака променљива θ, осим Кс, мора да садржи појам дθ / дк након што је изведена.

Овај појам ће се појавити само у првом степену или са експонентом једнаким 1. Овај квалитет чини га потпуно јасним у традиционалним методама факторинга. Дакле, могуће је добити израз који дефинише разлику дθ / дк.

Правило ланца показује прогресивну природу процеса диференцијације или деривације. Где је за сваку сложену функцију ф, диференцијални израз ф ће бити

Оперативни налог

У свакој формули или закону деривације који се примењује, редослед променљивих мора се узети у обзир. Поштују се критеријуми повезани са независном променљивом, не мењајући њену корелацију са зависном променљивом.

Однос зависне променљиве у време деривације узима се директно; С изузетком што ће се ово сматрати другом функцијом, због чега се критеријум ланчаног правила примењује за мешане функције.

То се може развити у изразе са више од две променљиве. Под истим принципима биће означене све разлике које се односе на зависне варијабле.

Графички се обрађује исти критеријум који дефинира изведеницу. Док је дериват нагиб тангенцијалне линије према кривуљи у равнини, остатак диференцијала који припадају зависним варијаблама (ди / дк, дз / дк) представљају равни тангенте на векторска тела описана вишеструким променљивим функцијама.

Имплицитно

Он је рекао да је функција имплицитно дефинисана ако је израз и = ф (к) може се представити као функција више различитих Ф (к, и) = 0 када Ф је дефинисан у равни Р ² .

3ки ³ - 2и + ки ² = ки се може записати у облику 3ки ³ - 2и + ки ² - ки = 0

С обзиром на немогућност да функција и = ф (к) буде експлицитна.

Историја

Различити прорачуни почели су да називају различити математички истраживачи око седамнаестог века. Први пут се то спомињало кроз прилоге Невтона и Леибниза. Обоје су третирали диференцијално рачунање са различитих гледишта, али конвергирајући се у својим резултатима.

Док се Њутн фокусирао на диференцијацију као брзину или брзину промене, Леибнизов је приступ био више геометријски. Може се рећи да је Невтон напао претпоставке које је оставио Аполониус из Пергеа и Леибниз геометријске идеје Фермата.

Имплицитна деривација појављује се одмах када се узму у обзир диференцијалне и интегралне једначине. Они су проширили Леибнизов геометријски концепт на Р ^3, па чак и на вишедимензионалне просторе.

Апликације

Имплицитни деривати користе се у различитим ситуацијама. Уобичајени су код проблема са девизним курсом између повезаних варијабли, где ће се променљиве сматрати зависним или независним, у зависности од смисла студије.

Такође имају занимљиве геометријске апликације, попут рефлексије или проблема са сенкама, на фигурама чији се облик може математички моделирати.

Често се користе у областима економије и инжењерства, као и у разним истраживањима природних појава и експерименталним грађевинама.

Решене вежбе

Вежба 1

Дефинирајте имплицитни израз који дефинира ди / дк

Сваки елемент израза је диференциран

Успостављање ланчаног правила у сваком надлежном случају

Груписање на једној страни једнакости елемената који имају ди / дк

Употребљава се помоћу заједничког фактора

Решава се добијањем траженог израза

Вежба 2

Дефинирајте имплицитни израз који дефинира ди / дк

Изражавање деривата које треба извести

Извођење имплицитно према ланчаном правилу

Факторинг заједничких елемената

Груписање израза ди / дк на једној страни једнакости

Заједнички фактор диференцијалног елемента

Изолујемо и добијемо тражени израз

Референце

1. Израчун јединствене променљиве. Рон Ларсон, Бруце Х. Едвардс. Ценгаге Леарнинг, 10. новембра 2008
2. Теорем имплицитних функција: Историја, теорија и апликације. Стевен Г. Крантз, Харолд Р. Паркс. Спрингер Сциенце & Бусинесс Медиа, 9. новембра. 2012
3. Мултиваријабилна анализа. Сатисх Схирали, Харкрисхан Лал Васудева. Спрингер Сциенце & Бусинесс Медиа, 13. децембра. 2010
4. Динамика система: Моделирање, симулација и контрола мехатронских система. Деан Ц. Карнопп, Доналд Л. Марголис, Роналд Ц. Росенберг. Јохн Вилеи & Сонс, 7. марта 2012
5. Израчун: Математика и моделирање. Виллиам Баулдри, Јосепх Р. Фиедлер, Франк Р. Гиордано, Ед Лоди, Рицк Витраи. Аддисон Веслеи Лонгман, 1. јануара 1999