Адитив разлагање једне позитиван цео број чине га изражавају као збир два или више бројева. Дакле, имамо да се број 5 може изразити као 5 = 1 + 4, 5 = 2 + 3 или 5 = 1 + 2 + 2. Сваки од ових начина писања броја 5 оно ћемо назвати додатном декомпозицијом.

Ако обратимо пажњу можемо видети да изрази 5 = 2 + 3 и 5 = 3 + 2 представљају исти састав; обојица имају исти број. Међутим, само ради практичности, сваки додатак се обично пише по критеријуму од најнижег до највишег.

Адитивно распадање

Као још један пример можемо узети број 27, који можемо изразити као:

27 = 7 + 10 + 10

27 = 9 + 9 + 9

27 = 3 + 6 + 9 + 9

27 = 9 + 18

Адитивно разлагање је веома корисно средство које нам омогућава да ојачамо своје знање о бројевним системима.

Канонско адитивно распадање

Кад имамо бројеве са више од две цифре, посебан начин да их разложимо је у множинама 10, 100, 1000, 10 000, итд., Које то чине. Овакав начин писања било ког броја назива се канонским додавањем декомпозиције. На пример, број 1456 може се декомпоновати на следећи начин:

1456 = 1000 + 400+ 50 + 6

Ако имамо број 20 846 295, његово канонско додавање ће бити:

20 846 295 = 20.000.000 + 800.000 + 40.000 + 6000 + 200 + 90 +5.

Захваљујући овом декомпозицији, можемо видети да вредност дате цифре даје позиција коју заузима. Узмимо за пример бројеве 24 и 42:

24 = 20 + 4

42 = 40 +2

Овде можемо видети да у 24 два имају вредност 20 јединица, а 4 вредност 4 јединице; с друге стране, у 42. 4 има вредност 40 јединица, а две две јединице. Дакле, иако оба броја користе исте цифре, њихове вредности су потпуно различите због положаја који заузимају.

Апликације

Једна од примјена коју можемо дати адитивном разградњи је у одређеним врстама доказа, у којима је врло корисно видјети позитиван цијели број као збир других.

Примјер теорема

Узмимо за пример следећу теорему са одговарајућим доказима.

- Нека је З четвороцифрени број, онда је З дељив са 5 ако је његова одговарајућа бројка јединицама једнака нули или пет.

Демонстрација

Сјетимо се шта је подјела. Ако имамо целе бројеве "а" и "б", кажемо да "а" дели "б" ако постоји цео број "ц", такав да је б = а * ц.

Једно од својстава дељивости говори нам да ако су "а" и "б" дељиви са "ц", одузимање "аб" је такође дељиво.

Нека је З четвороцифрени број; према томе, З можемо написати као З = АБЦД.

Коришћењем канонске адитивне декомпозиције имамо:

З = А * 1000 + Б * 100 + Ц * 10 + Д

Јасно је да је А * 1000 + Б * 100 + Ц * 10 дељив са 5. За то имамо да је З дељиво са 5 ако је З - (А * 1000 + Б * 100 + Ц * 10) дељив са 5.

Али З - (А * 1000 + Б * 100 + Ц * 10) = Д и Д је једноцифрен број, тако да је једини начин да се дели с 5 да буде 0 или 5.

Стога је З дјељив с 5 ако је Д = 0 или Д = 5.

Имајте на уму да ако З има н цифара доказ је потпуно исти, само се мења да бисмо сада написали З = А ₁ А ₂ … А _н и циљ би био да се докаже да је А _н нула или пет.

Преграде

Кажемо да је партиција позитивног целог броја један од начина да можемо записати број као збир позитивних целих бројева.

Разлика између адитивног разлагања и партиције је у томе што, док прва тражи да се она барем може разградити на два додатка или више, партиција нема ово ограничење.

Дакле, имамо следеће:

5 = 5

5 = 1 + 4

5 = 2 + 3

5 = 1 + 2 + 2

Наведене су партиције од 5.

Односно, имамо да је свака адитивна разградња подјела, али није свака партиција нужно адитивна декомпозиција.

Теорија бројева, основна теорија аритметике гарантује да сваки цели број може бити јединствено написан као продукт прајдова.

Приликом проучавања партиција, циљ је утврдити на колико начина се може записати позитивни цели број као збир осталих целих бројева. Стога дефинирамо функцију партиције као што је приказано у наставку.

Дефиниција

Функција партиције п (н) је дефинисана као број начина на које се позитивни цели број н може записати као зброј позитивних целих бројева.

Враћајући се примеру 5, имамо то:

5 = 5

5 = 1 + 4

5 = 2 + 3

5 = 1 + 1 + 3

5 = 1 + 2 + 2

5 = 1 + 1 + 1 + 2

5 = 1 + 1 + 1 + 1 + 1

Дакле, п (5) = 7.

Графика

И партиције и адитивне декомпозиције броја н могу се геометријски представити. Претпоставимо да имамо адитивну декомпозицију н. У овом декомпозицији додаци се могу распоредити тако да су чланови сума поредани од најмање до највећих. Дакле, ок:

н = а ₁ + а ₂ + а ₃ +… + а _р са

а ₁ ≤ а ₂ ≤ а ₃ ≤… ≤ а _р .

Ову декомпозицију можемо графички приказати на следећи начин: у првом реду обележавамо _1- тачке, затим у следећем обележавамо _2- тачке и тако даље док не стигнемо до _р .

Узмимо за пример број 23 и његово следеће разлагање:

23 = 5 + 4 + 7 + 3 + 1 +3

Наређујемо ову декомпозицију и имамо:

23 = 1 + 3 + 3 + 4+ 5 + 7

Његов одговарајући граф би био: