РАЗЛИКА КОЦКЕ: ФОРМУЛЕ, ЈЕДНАЏБЕ, ПРИМЕРИ, ВЕЖБЕ - МАТХС - 2025

Разлика од коцке је бином алгебарски израз формирају ³ - Б ³ , где су услови А и Б могу бити реални бројеви или алгебраические изрази разних врста. Пример разлике у коцкама је: 8 - к ³ , јер се 8 може записати као 2 ³ .

Геометријски можемо замислити велику коцку, са страном а, од које се одузима мала коцка са страном б, као што је приказано на слици 1:

Слика 1. Разлика у коцкицама. Извор: Ф. Запата.

Количина добијене цифре је управо разлика у коцкама:

В = а ³ - б ³

Да би се пронашао алтернативни израз, примећено је да се та бројка може раставити у три призме, као што је приказано у наставку:

Слика 2. Разлика коцке (лево од једнакости) једнака је збиру парцијалних волумена (десно). Извор: Ф. Запата.

Призма има запремину добијену производом његове три димензије: ширина к висина к дубина. На овај начин, добијена запремина је:

В = а ³ - б ³ = а ² .б + б ³ + аб ²

Фактор б је уобичајен са десне стране. Надаље, на горњој слици је посебно тачно да:

б = (а / 2) ⇒ а = б + б

Стога се може рећи да је: б = а - б. Тако:

Овакав начин изражавања разлике у коцкама показаће се врло корисним у многим апликацијама и добио би се на исти начин, чак и ако би страна коцке која недостаје у углу била другачија од б = а / 2.

Имајте на уму да други заграде у великој мери подсећају на уочљиви производ квадрата суме, али попречни израз се не множи са 2. Читалац може проширити десну страну како би потврдио да ли је ³ - б ³ заиста добијен .

Примери

Постоји неколико разлика коцке:

1 - м ⁶

а ⁶ б ³ - 8з ¹² и ⁶

(1/125) .к ⁶ - 27.и ⁹

Хајде да анализирамо свако од њих. У првом примеру 1 се може записати као 1 = 1 ^3, а израз м ⁶ постаје: (м ² ) ³ . Оба термина су савршена коцка, дакле њихова разлика је:

1 - м ⁶ = 1 ³ - (м ² ) ³

У другом примеру су појмови преписани:

а ⁶ б ³ = (а ² б) ³

8з ¹² и ⁶ = 2 ³ (з ⁴ ) ³ (и ² ) ³ = (2з ⁴ и ² ) ³

Разлика ових коцкица је: (а ² б) ³ - (2з ⁴ и ² ) ³ .

Коначно, фракција (1/125) је (1/5 ³ ), к ⁶ = (к ² ) ³ , 27 = 3 ^3, и и ⁹ = (и ³ ) ³ . Замијенивши све то у оригиналном изразу, добићете:

(1/125) .к ⁶ - 27и ⁹ = ³ - ( 3и ³ ) ³

Факторинг разлике у коцкама

Факторинг разлике коцке поједностављује многе алгебарске операције. Да бисте то учинили, користите само формулу изнесену горе:

Слика 3. Факторизација разлике у коцкама и израз изразитог квоцијента. Извор: Ф. Запата.

Сада се поступак примјене ове формуле састоји од три корака:

- На првом месту се добија коцка коцке сваког од израза разлике.

- Тада се граде бином и трином, који се појављују на десној страни формуле.

- Коначно, бином и трином су замењени да би се добила коначна факторизација.

Илустрирајмо употребу ових корака са сваким од примера разлике коцкица предложених горе и тако ћемо добити факторски еквивалент.

Пример 1

Фактор израза 1 - м ⁶ прате кораке описане. Започињемо преписивањем израза као 1 - м ⁶ = 1 ³ - (м ² ) ³ како бисмо извукли одговарајуће коцке коцке сваког термина:

Затим се граде бином и трином:

а = 1

б = м ²

Тако:

а - б = 1 - м ²

(а ² + аб + б ² ) = 1 ² + 1.м ² + (м ² ) ² = 1 + м ² + м ⁴

Коначно, супституисан је у формули а ³ - б ³ = (аб) (а ² + аб + б ² ):

1 - м ⁶ = (1 - м ² ) (1 + м ² + м ⁴ )

Пример 2

Факторизе:

а ⁶ б ³ -8з ¹² и ⁶ = (а ² б) ³ - (2з ⁴ и ² ) ³

Пошто су то савршене коцке, корење коцке је одмах: а ² б и 2з ⁴ и ² , одатле следи да:

- Бином: а ² б - 2з ⁴ и ²

- Трином: (а ² б) ² + а ² б. 2з ⁴ и ² + (а ² б + 2з ⁴ и ² ) ²

А сада се конструише жељена факторизација:

а ⁶ б ³ -8з ¹² и ⁶ = (а ² б - 2з ⁴ и ² ). =

= (а ² б - 2з ⁴ и ² ).

У принципу, факторинг је спреман, али често је потребно поједноставити сваки термин. Тада се развија изванредан производ - квадрат збир - који се појављује на крају, а затим се додају слични изрази. Сјећајући се да је квадрат суме:

Значајни производ са десне стране развијен је овако:

(а ² б + 2з ⁴ и ² ) ² = а ⁴ б ² + 4а ² б.з ⁴ и ² + 4з ⁸ и ⁴

Замјена експанзије добијене факторизацијом разлике коцкица:

а ⁶ б ³ -8з ¹² и ⁶ = (а ² б - 2з ⁴ и ² ). =

Коначно, груписањем појмова и раздвајањем нумеричких коефицијената, који су једнолики, добијамо:

(а ² б - 2з ⁴ и ² ). = 2 (а ² б - 2з ⁴ и ² ).

Пример 3

Факторинг (1/125) к ⁶ - 27и ⁹ много је лакши него у претходном случају. Прво се идентификују еквиваленти а и б:

а = (1/5) к ²

б = 3и ³

Тада су директно супституисани у формули:

(1/125) .к ⁶ - 27и ⁹ =.

Вежба решена

Разлика у коцкама има, као што смо рекли, различите апликације у Алгебри. Да видимо неколико:

Вежба 1

Решите следеће једначине:

а) к ⁵ - 125 к ² = 0

б) 64 - 729 к ³ = 0

Решење за

Прво се једначина уважава на овај начин:

к ² (к ³ - 125) = 0

Пошто је 125 савршена коцка, заграде се пишу као разлика у коцкама:

к ² . (к ³ - 5 ³ ) = 0

Прво решење је к = 0, али налазимо више ако направимо к ³ - 5 ³ = 0, тада:

к ³ = 5 ³ → к = 5

Решење б

Лева страна једначине је преписана као 64 - 729 к ³ = 4 ³ - (9к) ³ . Тако:

4 ³ - (9к) ³ = 0

Пошто је експонент исти:

9к = 4 → к = 9/4

Вежба 2

Фактор израза:

(к + и) ³ - (к - и) ³

Решење

Овај израз је разлика у коцкама, ако у формули за факторинг приметимо да:

а = к + и

б = к- и

Тада се прво гради бином:

а - б = к + и - (к- и) = 2и

А сада трином:

а ² + аб + б ² = (к + и) ² + (к + и) (ки) + (ки) ²

Развијени су значајни производи:

Затим морате заменити и смањити појмове:

а ² + аб + б ² = к ² + 2ки + и ² + к ² - и ² + к ² - 2ки + и ² = 3к ² + и ²

Факторинг резултати у:

(к + и) ³ - (к - и) ³ = 2и. (3к ² + и ² )

Референце

1. Балдор, А. 1974. Алгебра. Редакција културне Венезолана СА
2. Фондација ЦК-12. Збир и разлика коцке. Опоравак од: цк12.орг.
3. Академија Кан. Факторинг разлика коцкица. Опоравак од: ес.кханацадеми.орг.
4. Матх ис Фун Адванцед. Разлика у две коцке. Опоравак од: матхсисфун.цом
5. УНАМ. Факторинг разлике у коцкама. Опоравак од: дцб.фи-ц.унам.мк.