ЕУКЛИДСКА УДАЉЕНОСТ: КОНЦЕПТ, ФОРМУЛА, ПРОРАЧУН, ПРИМЕР - МАТХС - 2025

Еуклидска раздаљина је позитиван број који показује раздвајање између две тачке у простору где су испуњени, аксиоми и теореме геометрије еуклидов.

Удаљеност између две тачке А и Б у еуклидском простору је дужина вектора АБ који припада јединој линији која пролази кроз те тачке.

Слика 1 . Једнодимензионални еуклидски простор формиран линијом (ОКС). На наведеном простору приказано је неколико тачака, њихове координате и удаљености. (Припремио Рицардо Перез).

Простор који људи опажају и где се крећемо је тродимензионални (3-Д) простор, где су испуњени аксиоми и теореме Еуклидове геометрије. Дводимензионални подпростори (равни) и једнодимензионални подпростори (линије) налазе се у овом простору.

Еуклидски простори могу бити једнодимензионални (1-Д), дводимензионални (2-Д), тродимензионални (3-Д) или н-димензионални (нД).

Точке у једнодимензионалном простору Кс су оне које припадају оријентисаној линији (ОКС), правац од О до Кс је позитиван смер. За лоцирање тачака на овој линији користи се картезијански систем који се састоји од додијељења броја свакој тачки линије.

Формула

Еуклидско растојање д (А, Б) између тачака А и Б, смештених на линији, дефинисано је као квадратни корен квадрата разлика у њиховим Кс координатама:

д (А, Б) = √ ((КСБ - КСА) ^ 2)

Ова дефиниција гарантује да: удаљеност између две тачке увек је позитивна количина. И да је удаљеност између А и Б једнака растојању између Б и А.

Слика 1 приказује једнодимензионални еуклидски простор формиран линијом (ОКС) и неколико тачака на наведеној линији. Свака тачка има координат:

Тачка А има координату КСА = 2,5, тачка Б координата КСБ = 4, а тачка Ц координата КСЦ = -2,5

д (А, Б) = √ ((4 - 2.5) 2) = 1.5

д (Б, А) = √ ((2.5 - 4) 2) = 1.5

д (А, Ц) = √ ((- 2,5 - 2,5) 2) = 5,0

Еуклидска удаљеност у две димензије

Дводимензионални еуклидски простор је равнина. Тачке еуклидске равнине испуњавају аксиоме еуклидове геометрије, на пример:

- Једна линија пролази кроз две тачке.

- Три тачке на равнини формирају троугао чији унутрашњи углови увек додају 180 °.

- У правом троуглу квадрат хипотенузе једнак је збиру квадрата његових ногу.

У две димензије тачка има Кс и И координате.

На пример, тачка П има координате (КСП, ИП) и тачку К координате (КСК, ИК).

Еуклидска удаљеност између тачке П и К је дефинисана следећом формулом:

д (П, К) = √ ((КСК - КСП) ^ 2 + (ИК - ИП) ^ 2)

Треба напоменути да је ова формула еквивалентна питагорејској теореми, као што је приказано на слици 2.

Слика 2. Удаљеност између две тачке П и К у равнини испуњава питагорејску теорему. (Припремио Рицардо Перез).

Нееуклидске површине

Нису сви дводимензионални простори у складу са еуклидском геометријом. Површина сфере је дводимензионални простор.

Углови троугла на сферичној површини не додају 180 ° и с тим питагорејска теорема није испуњена, дакле, сферна површина не испуњава Еуклидове аксиоме.

Еуклидско растојање у н димензијама

Концепт координата може се проширити на веће димензије:

- У 2-Д тачки П има координате (КСП, ИП)

- У 3-Д тачка К има координате (КСК, ИК, ЗК)

- У 4-Д тачка Р ће имати координате (КСР, ИР, ЗР, ВР)

- У нД тачка П ће имати координате (П1, П2, П3,… .., Пн)

Удаљеност између две тачке П и К н-димензионалног еуклидског простора израчунава се следећом формулом:

д (П, К) = √ ((К1 - П1) ^ 2 + (К2 - П2) ^ 2 + …… .. + (Кн - Пн) ^ 2)

Локус свих тачака К у н-димензионалном еуклидском простору, удаљеном од друге фиксне тачке П (у средини), формира н-димензионалну хиперсферу.

Како израчунати еуклидско растојање

Следеће показује како се израчунава раздаљина између две тачке која се налази у еуклидском тродимензионалном простору.

Претпоставимо да је тачка А картезијанске координате к, и, з дана А :( 2, 3, 1) и тачка Б координата Б :( -3, 2, 2).

Желимо да утврдимо удаљеност између ових тачака за које се користи општи однос:

д (А, Б) = √ ((-3 - 2) 2 + (2 - 3) 2 + (2 - 1) 2) = √ ((-5) 2 + (-1) 2 + (1) 2 )

д (А, Б) = √ (25 + 1 + 1) = √ (27) = √ (9 * 3) = 3 √ (3) = 5.196

Пример

Постоје две тачке П и К. Тачка П картезијанских координата к, и, з дана П :( 2, 3, 1) и тачка К координата К :( -3, 2, 1).

Од њега се тражи да нађе координате средње тачке М сегмента која повезује две тачке.

Претпоставља се да непозната тачка М има координате (Кс, И, З).

Пошто је М средња тачка, мора бити тачно да је д (П, М) = д (К, М), па и д (П, М) ^ 2 = д (К, М) ^ 2 такође мора бити тачно:

(Кс - 2) ^ 2 + (И - 3) ^ 2 + (З - 1) ^ 2 = (Кс - (-3)) ^ 2 + (И - 2) ^ 2 + (З - 1) ^ 2

Као што је у овом случају трећи термин једнак за оба члана, претходни израз поједностављује:

(Кс - 2) ^ 2 + (И - 3) ^ 2 = (Кс + 3) ^ 2 + (И - 2) ^ 2

Затим имамо једначину са две непознате Кс и И. За решавање проблема потребна је друга једначина.

Тачка М припада линији која пролази кроз тачке П и К, а коју можемо израчунати на следећи начин:

Прво проналазимо директоријски вектор ПК линије: ПК = <-3-2, 2-3, 1-1> = <-5, -1, 0>.

Тада је ПМ = ОП + а ПК , где је ОП вектор позиције тачке П и параметар је који припада стварним бројевима.

Горња једнаџба позната је као векторска једначина правца која у картезијанским координатама поприма сљедећи облик:

<Кс-2, И-3, З-1> = <2, 3, 1> + а <-5, -1, 0> = <2 - 5а, 3 - а, 0>

Изједначавање одговарајућих компоненти имамо:

Кс - 2 = 2-5 а; И - 3 = 3 -а; З - 1 = 0

То јест, Кс = 4 - 5а, И = 6 - а, на крају З = 1.

Супституисан је у квадратном изразу који се односи на Кс на И:

(4 - 5а - 2) ^ 2 + (6 - а - 3) ^ 2 = (4 - 5а + 3) ^ 2 + (6 - а - 2) ^ 2

Поједностављено је:

(2 - 5а) ^ 2 + (3 -а) ^ 2 = (7 - 5а) ^ 2 + (4 - а) ^ 2

Сада се отвара:

4 + 25 а ^ 2 - 20а + 9 + а ^ 2 - 6а = 49 + 25 а ^ 2 - 70а + 16 + а ^ 2 - 8а

Поједностављено је, отказујући појмове у оба члана:

4 - 20а + 9 - 6а = 49 - 70а + 16 - 8а

Параметар а је обрисан:

52 а = 49 + 16 - 4 - 9 = 52 што резултира а = 1.

То јест, Кс = 4 - 5, И = 6 - 1, на крају З = 1.

Коначно добијамо картезијанске координате средње тачке М сегмента:

М: (-1, 5, 1).

Референце

1. Лехманн Ц. (1972) Аналитичка геометрија. УТЕХА.
2. Суперпроф. Удаљеност између две тачке. Опоравак од: суперпроф.ес
3. УНАМ. Удаљеност између афине сублинеарних раздјелника. Опоравак од: прометео.матем.унам.мк/
4. википедиа. Еуклидска удаљеност. Опоравак од: ес.википедиа.цом
5. википедиа. Еуклидски простор. Опоравак од: ес.википедиа.цом