ДИСКРЕТНЕ РАСПОДЕЛЕ ВЕРОВАТНОЋЕ: КАРАКТЕРИСТИКЕ, ВЕЖБЕ - МАТХС - 2025

У дискретне расподеле вероватноће су функција која додељује сваког елемента Кс (С) = {к1, к2, …, ки, …}, где је Кс дискретна случајна променљива дато и С је узорак простор, вероватноћа да наведени догађај се догађа. Ова функција ф Кс (С) дефинисана као ф (ки) = П (Кс = ки) понекад се назива функцијом масе вероватноће.

Ова маса вероватноћа је генерално представљена у табели. Пошто је Кс дискретна случајна променљива, Кс (С) има ограничен број догађаја или бројач бесконачности. Међу најчешћим дискретним дистрибуцијама вероватноће имамо једнолику дистрибуцију, биномну дистрибуцију и Поиссонову дистрибуцију.

карактеристике

Функција расподеле вероватноће мора да испуњава следеће услове:

Даље, ако Кс узима само коначан број вредности (на пример к1, к2,…, кн), тада је п (ки) = 0 ако и> ни, дакле, бесконачни низ услова б постаје а коначна серија.

Ова функција испуњава и следећа својства:

Нека је Б догађај повезан са случајном променљивом Кс. То значи да је Б садржан у Кс (С). Конкретно, претпоставимо да је Б = {ки1, ки2, …}. Тако:

Другим речима, вероватноћа догађаја Б је једнака зброју вероватноћа појединачних исхода повезаних са Б.

Из овога можемо закључити да ако су а <б, догађаји (Кс ≤ а) и (а <Кс ≤ б) су међусобно искључиви, и, даље, њихов савез је догађај (Кс ≤ б), тако да имамо:

Врсте

Равномерна расподела на н тачака

Речено је да случајна променљива Кс следи расподелу коју карактерише уједначена у н тачки ако је свакој вредности додељена иста вероватноћа. Његова вероватноћа масена функција је:

Претпоставимо да имамо експеримент који има два могућа исхода, то може бити бацање кованице чији су могући исходи главе или репови или избор целог броја чији резултат може бити паран или непаран број; ова врста експеримента је позната као Берноуллијеви тестови.

Генерално се два могућа исхода називају успех и неуспех, где је п вероватноћа успеха, а 1-п вероватноћа неуспеха. Вероватноћу к успеха можемо утврдити у н Берноуллијевим тестовима који су независни једни од других са следећом дистрибуцијом.

Биномна дистрибуција

То је функција која представља вероватноћу постизања к успеха у н независним Берноуллијевим тестовима, чија је вероватноћа успеха п. Његова вероватноћа масена функција је:

Следећи графикон представља функцију масе вероватноће за различите вредности параметара биномне дистрибуције.

Следећа дистрибуција своје име дугује француском математичару Симеону Поиссону (1781-1840) који га је добио као границу биномне дистрибуције.

Поиссонова дистрибуција

Каже се да случајна променљива Кс има Поиссонову расподелу параметра λ када може да преузме позитивне целобројне вредности 0,1,2,3, … са следећом вероватноћом:

У овом изразу λ је просечан број који одговара догађајима догађаја за сваку јединицу времена, а к је број пута када се догађај догоди.

Његова вероватноћа масена функција је:

Ево графикона који представља функцију масе вероватноће за различите вредности параметара Поиссонове дистрибуције.

Имајте на уму да све док је број успеха мали и број тестова на биномној дистрибуцији висок, увек можемо да их приближимо, пошто је Поиссонова дистрибуција граница биномне дистрибуције.

Главна разлика између ове две дистрибуције је у томе што, док бином зависи од два параметра, наиме н и п, Поиссон зависи само од λ, који се понекад назива и интензитет дистрибуције.

До сада смо говорили само о расподели вероватноће за случајеве у којима су различити експерименти независни један од другог; то јест, када на резултат једног не утиче неки други резултат.

Кад се догоди случај експеримената који нису независни, хипергеометријска дистрибуција је веома корисна.

Хипергеометријска дистрибуција

Нека је Н укупни број објеката коначног скупа, од којих можемо на неки начин идентификовати к, формирајући тако подскуп К, чији комплемент чине преостали Нк елементи.

Ако насумично изаберемо н објеката, случајна варијабла Кс која представља број објеката који припадају К у наведеном избору има хипергеометријску расподелу параметара Н, н и к. Његова вероватноћа масена функција је:

Следећи графикон представља функцију масе вероватноће за различите вредности параметара хипергеометријске дистрибуције.

Решене вежбе

Прва вежба

Претпоставимо да је вероватноћа да ће радио-цев (смештена у одређену врсту опреме) радити више од 500 сати 0,2. Ако се тестира 20 епрувета, колика је вероватноћа да ће тачно к од њих радити више од 500 сати, к = 0, 1,2,…, 20?

Решење

Ако је Кс број цеви које раде више од 500 сати, претпоставићемо да Кс има биномну дистрибуцију. Тако

И тако:

За к≥11 вероватноће су мање од 0,001

Тако можемо видети како се вероватноћа да к од њих ради више од 500 сати повећава, док не достигне своју максималну вредност (са к = 4), а затим почне да се смањује.

Друга вежба

Кованица се баца 6 пута. Кад је резултат скуп, рећи ћемо да је успех. Колика је вероватноћа да ће се тачно појавити две главе?

Решење

За овај случај имамо да је н = 6 и обе вероватноће успеха и неуспеха су п = к = 1/2

Дакле, вероватноћа да су дате две главе (то јест, к = 2) је

Трећа вежба

Колика је вероватноћа проналаска најмање четири главе?

Решење

За овај случај имамо да је к = 4, 5 или 6

Трећа вежба

Претпоставимо да је 2% предмета произведених у фабрици неисправно. Пронађите вероватноћу П да у узорку од 100 предмета постоје три неисправна предмета.

Решење

У овом случају можемо применити биномну расподелу за н = 100 и п = 0.02 добијајући као резултат:

Међутим, пошто је п мали, користимо Поиссонову апроксимацију са λ = нп = 2. Тако,

Референце

1. Каи Лаи Цхунг. Елементарна теорија изводљивости са стохастичким процесима. Спрингер-Верлаг Нев Иорк Инц
2. Кеннетх.Х. Росен, дискретна математика и њене апликације. САМЦГРАВ-ХИЛЛ / ИНТЕРАМЕРИЦАНА ДЕ ЕСПАНА.
3. Паул Л. Меиер. Вероватноће и статистичке апликације. СА АЛХАМБРА МЕКСИЦАНА.
4. Др Сеимоур Липсцхутз 2000 решена проблема дискретне математике. МцГРАВ-ХИЛЛ.
5. Др Сеимоур Липсцхутз Теорија и проблеми вероватноће. МцГРАВ-ХИЛЛ.