ПОЛИНОМНЕ ЈЕДНАЧИНЕ (СА РЕШЕНИМ ВЕЖБАМА) - МАТХС - 2025

У полинома једначине су изјаву која подиже једнакости два израза или чланова, у којима је најмање један од услова који чине до супротне стране једнакости су полиноми П (к). Ове једнаџбе су именоване према степену њихових променљивих.

Опћенито, једначина је изјава која успоставља једнакост двају израза, гдје барем у једном од њих постоје непознате величине, које се називају варијаблама или непознаницама. Иако постоји много врста једначина, они се углавном класификују на две врсте: алгебарске и трансцендентне.

Полиномне једнаџбе садрже само алгебарске изразе, који могу имати једну или више непознаница које учествују у једначини. Према експоненту (степену) који имају, они се могу сврстати у: први степен (линеарни), други степен (квадратни), трећи степен (кубични), четврти степен (квартски), степен већи или једнак пет и ирационалан.

карактеристике

Полиномне једнаџбе су изрази који су формирани једнакошћу између два полинома; то јест, коначним сумама множења између непознатих вредности (варијабле) и фиксних бројева (коефицијената), при чему променљиве могу имати експоненте, а њихова вредност може бити позитиван цели број, укључујући нулу.

Излагачи одређују степен или врсту једначине. Израз у изразу са највишом експонентом представљаће апсолутни степен полинома.

Полиномне једнаџбе су познате и као алгебарске једначине, њихови коефицијенти могу бити стварни или сложени бројеви, а променљиве су непознати бројеви представљени словом, као што су: "к".

Ако је променом вредности за променљиву "к" у П (к) резултат једнак нули (0), онда се каже да та вредност задовољава једначину (то је решење) и обично се назива корен полинома.

Приликом израде полиномне једнаџбе желите да пронађете све корене или решења.

Врсте

Постоји неколико врста полиномних једначина које се разликују према броју променљивих, а такође и према степену њихове експоненте.

Према томе, полиномске једначине - где је њен први израз полином који има јединствену непознаницу, с обзиром да његов степен може бити било који природни број (н), а други појам нула -, може се изразити на следећи начин:

а _{н *} к ^н + а _{н-1 *} к ^н-1 +… + а _{1 *} к ¹ + а _{0 *} к ₀ = 0

Где:

- а _н, а _н-1 и ₀ су стварни коефицијенти (бројеви).

- _н се разликује од нуле.

- експонент н је позитиван цели број који представља степен једначине.

- к је променљива или непознаница која се тражи.

Апсолутни или већи степен полиномне једнаџбе је експонент с највећом вредношћу међу свима онима који формирају полином; према томе, једначине су класификоване као:

Први разред

Полиномне једначине првог степена, познате и као линеарне једначине, су оне у којима је степен (највећа експонента) једнак 1, полином је облика П (к) = 0; и је састављен од линеарног израза и независног. Пише на следећи начин:

ак + б = 0.

Где:

- а и б су реални бројеви и = 0.

- ак је линеарни појам.

- б је независни израз.

На пример, једначина 13к - 18 = 4к.

Да би се решили линеарне једначине, сви изрази који садрже непознати к морају се пренети на једну страну једнакости, а они који их немају прелазе на другу страну, да би се решили и добили решење:

13к - 18 = 4к

13к = 4к + 18

13к - 4к = 18

9к = 18

к = 18 ÷ 9

к = 2.

Дакле, задата једначина има само једно решење или корен, а то је к = 2.

Други разред

Полиномне једначине другог степена, познате и као квадратне једначине, су оне у којима је степен (највећа експонента) једнак 2, полином је облика П (к) = 0 и састављен је од квадратног термина , један линеарни и један независни. Изражава се на следећи начин:

ак ² + бк + ц = 0.

Где:

- а, б и ц су реални бројеви и = 0.

- ос ² је квадратни појам, а "а" је коефицијент квадратног појма.

- бк је линеарни израз, а "б" је коефицијент линеарног израза.

- ц је независни појам.

Растварач

Генерално, решење за ову врсту једначина је дато брисањем к из једнаџбе и то је следеће што се назива резолутивним:

Тамо се (б ² - 4ац) назива дискриминантом једначине и овај израз одређује број решења која једначина може да има:

- Ако је (б ² - 4ац) = 0, једначина ће имати једно решење које је двоструко; то јест, имаће два једнака решења.

- Ако је (б ² - 4ац)> 0, једначина ће имати два различита реална решења.

- Ако је (б ² - 4ац) <0, једначина нема решења (имаће два различита сложена решења).

На пример, имамо једначину 4к ² + 10к - 6 = 0, да бисмо је решили, прво идентификујмо изразе а, б и ц, а затим је заменимо у формули:

а = 4

б = 10

ц = -6.

Постоје случајеви у којима полиномске једнаџбе другог степена немају сва три термина и зато се они различито решавају:

- У случају да квадратне једнаџбе немају линеарни израз (то јест, б = 0), једначина ће бити изражена као ак ² + ц = 0. Да бисте је решили, решите за к ² и примените квадратне корене у сваком члану , сећајући се да се морају узети у обзир два могућа знака које непознато:

ак ² + ц = 0.

к ² = - ц ÷ а

На пример, 5 к ² - 20 = 0.

5 к ² = 20

к ² = 20 ÷ 5

к = ± √4

к = ± 2

к ₁ = 2.

к ₂ = -2.

- Кад квадратна једнаџба нема независни израз (то јест, ц = 0), једначина ће бити изражена као ак ² + бк = 0. Да бисмо је решили, морамо узети први фактор непознатог к у првом члану; Како је једначина једнака нули, истина је да ће бар један од фактора бити једнак 0:

ак ² + бк = 0.

к (ак + б) = 0.

Дакле, морате:

к = 0.

к = -б ÷ а.

На пример: имамо једначину 5к ² + 30к = 0. Прво факторујемо:

5к ² + 30к = 0

к (5к + 30) = 0.

Стварају се два фактора који су ки (5к + 30). Сматра се да ће једна од њих бити једнака нули, а друга да је решена:

к ₁ = 0.

5к + 30 = 0

5к = -30

к = -30 ÷ 5

к ₂ = -6.

Највиша оцена

Полиномне једначине вишег степена су оне које иду од трећег степена па надаље, које се могу изразити или решити општом полиномном једначином за било који степен:

а _{н *} к ^н + а _{н-1 *} к ^н-1 +… + а _{1 *} к ¹ + а _{0 *} к ₀ = 0

Ово се користи зато што једначина са степеном већим од два резултат је факторинг полинома; то јест, изражава се множењем полинома степена једног или више, али без стварних корена.

Решење ових врста једначина је директно, јер ће множење два фактора бити једнако нули ако је било који од фактора нула (0); према томе, свака пронађена полиномна једнаџба мора бити решена постављајући сваки од њихових фактора једнаким нули.

На пример, имамо једначину трећег степена (кубичну) к ³ + к ² + 4к + 4 = 0. Да бисте је решили, морате следити следеће кораке:

- Термини су груписани:

к ³ + к ² + 4к + 4 = 0

(к ³ + к ² ) + (4к + 4) = 0.

- Чланови се декомпонују како би добили заједнички фактор непознатог:

к ² (к + 1) + 4 (к + 1) = 0

(к ² + 4) _* (к + 1) = 0.

- На овај начин се добијају два фактора, која морају бити једнака нули:

(к ² + 4) = 0

(к + 1) = 0.

- Може се видети да фактор (к ² + 4) = 0 неће имати стварно решење, док фактор (к + 1) = 0 има. Дакле, решење је:

(к + 1) = 0

к = -1.

Решене вежбе

Решите следеће једначине:

Прва вежба

(2к ² + 5) _* (к - 3) _* (1 + к) = 0.

Решење

У овом случају једначина се изражава као множење полинома; то јест, факторисано. Да бисте га решили, сваки фактор мора бити једнак нули:

- 2к ² + 5 = 0, нема решења.

- к - 3 = 0

- к = 3.

- 1 + к = 0

- к = - 1.

Дакле, задата једначина има два решења: к = 3 и к = -1.

Друга вежба

к ⁴ - 36 = 0.

Решење

Дат је полином који се може преписати као разлика квадрата за брже решење. Дакле, једначина је:

(к ² + 6) _* (к ² - 6) = 0.

Да би се пронашло решење једначина, оба су фактора постављена једнака нули:

(к ² + 6) = 0, нема решења.

(к ² - 6) = 0

к ² = 6

к = ± √6.

Дакле, почетна једначина има два решења:

к = √6.

к = - √6.

Референце

1. Андрес, Т. (2010). Тресура математичке олимпијаде. Спрингер. Њу Јорк.
2. Ангел, АР (2007). Елементарна алгебра. Пеарсон Едуцатион,.
3. Баер, Р. (2012). Линеарна алгебра и пројективна геометрија. Курирска корпорација.
4. Балдор, А. (1941). Алгебра. Хавана: Култура.
5. Цастано, ХФ (2005). Математика пре рачунања. Универзитет у Меделину.
6. Цристобал Санцхез, МР (2000). Олимпијски приручник за математику. Универзитет Јауме И.
7. Креемли Перез, МЛ (1984). Виша алгебра И
8. Массара, НЦ-Л. (деветнаест деведесет пет). Математика 3.