- умножавање реалног броја ниво а по вектор в : α в давање другог вектор и припада В .

Умјетничка визија векторског простора. Извор: Пикабаи

За означавање вектора користимо подебљано ( в је вектор), а за скалере или бројеве грчка слова (α је број).

Аксиоми и својства

Да би се добио векторски простор, мора се држати следећих осам аксиома:

1-комутабилност: у + в = в + у

2-транзитивност: ( у + в ) + в = у + ( в + в )

3-постојање нултог вектора 0 таквог да је 0 + в = в

4 - Постојање супротног: супротно од в је (- в ), пошто је в + (- в ) = 0

5-Дистрибутивност производа у односу на суму вектора: α ( у + в ) = α у + α в

6-Дистрибутивност производа у односу на скаларну суму: (α + β) в = α в + β в

7-Асоцијативност скаларног производа: α (β в ) = (α β) в

8-Број 1 је неутрални елемент јер је: 1 в = в

Примери векторских простора

Пример 1

Вектори у (Р²) равнини су пример векторског простора. Вектор у равни је геометријски објект који има величину и смер. Представљен је оријентисаним сегментом који припада наведеној равнини и величине пропорционалне његовој величини.

Збир два вектора у равнини може се дефинисати као операција геометријског превођења другог вектора после првог. Резултат суме је оријентисани сегмент који почиње од настанка првог и досеже врх другог.

На слици се види да је сума у ​​Р² комутативна.

Слика 2. Вектори у равни формирају векторски простор. Извор: селф маде.

Такође је дефинисан производ броја α и вектора. Ако је број позитиван, смер оригиналног вектора се задржава, а величина је α већа од изворног вектора. Ако је број негативан, правац је супротан, а величина резултирајућег вектора је апсолутна вредност броја.

Вектор насупрот било којем вектору в је - в = (- 1) в .

Нултонски вектор је тачка у равнини Р², а број нула пута колико вектор даје нулл вектор.

Све што је речено илустрирано је на слици 2.

Пример 2

Скуп П свих полинома степена мањих или једнаких два, укључујући степен нулу, формира скуп који задовољава све аксиоме векторског простора.

Нека је полином П (к) = а к² + бк + ци К (к) = д к² + ек + ф

Збир два полинома је дефинисан: П (к) + К (к) = (а + д) к² + (б + е) к + (ц + ф)

Збир полинома који припада скупу П је комутативан и транзитиван.

Нулти полином који припада скупу П је онај који има све коефицијенте једнаке нули:

0 (к) = 0 к² + 0 к + 0

Зброј скаларног α полиномом дефинисан је као: α П (к) = α ∙ а к² + α ∙ бк + α ∙ ц

Супротни полином П (к) је -П (к) = (-1) П (к).

Из свега горе наведеног произлази да је скуп П свих полинома степена мањи или једнак два векторски простор.

Пример 3

Скуп М свих матрица м редова кн ступаца чији су елементи стварни бројеви формирају прави векторски простор, у односу на операције додавања матрица и продукта броја матриксом.

Пример 4

Скуп Ф континуираних функција реалне променљиве формира векторски простор, будући да је могуће дефинисати суму две функције, множење скалара помоћу функције, нулл функцију и симетричну функцију. Они такође испуњавају аксиоме који карактеришу векторски простор.

База и димензија векторског простора

База

База векторског простора је дефинисана као скуп линеарно независних вектора тако да се из линеарне комбинације њих може генерисати било који вектор тог векторског простора.

Линеарно комбиновање два или више вектора састоји се од умножавања вектора по неком скаларном облику, а затим векторског додавања.

На пример, у векторском простору вектора у три димензије формиране од Р³, користи се канонска основа дефинисана јединичним векторима (величине 1) и , ј , к .

Где и = (1, 0, 0); ј = (0, 1, 0); к = (0, 0, 1). То су картезијански или канонски вектори.

Било који вектор В који припада Р³ записан је као В = а и + б ј + ц к , што је линеарна комбинација основних вектора и , ј , к . Скалар или бројеве а, б, ц познати као картезијанских компоненте В .

Такође се каже да базни вектори векторског простора формирају скуп генератора векторског простора.

Димензија

Димензија векторског простора је кардинални број векторске основе за тај простор; то јест, број вектора који чине поменуту базу.

Овај кардинал је максимални број линеарно независних вектора тог векторског простора, а уједно је и најмањи број вектора који формирају генератор тог простора.

Базе векторског простора нису јединствене, али све базе истог векторског простора имају исту димензију.

Векторски подпростор

Векторски подпростор С векторског простора В је подскуп В у коме су исте операције дефинисане као у В и испуњавају све аксиоме векторског простора. Стога ће подпростор С такође бити векторски простор.

Пример векторског подпростора су вектори који припадају КСИ равнини. Овај подпростор је подскуп векторског простора димензионалности већег од скупа вектора који припадају тродимензионалном простору КСИЗ.

Следећи пример векторског подпростора С1 векторског простора С који је формиран од свих 2 × 2 матрица са стварним елементима је дефинисан у наставку:

С друге стране, С2 дефинисан испод, иако је подскуп С, не формира векторски подпростор:

Решене вежбе

-Вежба 1

Нека су вектори В1 = (1, 1, 0); В2 = (0, 2, 1) и В3 = (0, 0, 3) у Р3.

а) Покажите да су линеарно независни.

б) Покажите да они чине основу у Р³, јер се свака трострука (к, и, з) може записати као линеарна комбинација В1, В2, В3.

ц) Пронађите компоненте троструке В = (-3,5,4) у бази В1 , В2 , В3 .

Решење

Критеријум за приказивање линеарне независности састоји се у успостављању следећег скупа једначина у α, β и γ

α (1, 1, 0) + β (0, 2, 1) + γ (0, 0, 3) = (0, 0, 0)

У случају да је једино решење овог система α = β = γ = 0, онда су вектори линеарно независни, у супротном нису.

Да бисмо добили вредности α, β и γ, предлажемо следећи систем једначина:

α ∙ 1 + β ∙ 0 + γ ∙ 0 = 0

α ∙ 1 + β ∙ 2 + γ ∙ 0 = 0

α ∙ 0 + β ∙ 1 + γ ∙ 3 = 0

Прво води ка α = 0, друго α = -2 ∙ β, али пошто је α = 0, тада је β = 0. Трећа једначина подразумева да је γ = (- 1/3) β, али пошто је β = 0, тада је γ = 0.

Одговор на

Закључено је да је то низ линеарно независних вектора у Р³.

Одговор б

Сада напишемо троструку (к, и, з) као линеарну комбинацију В1, В2, В3.

(к, и, з) = α В1 + β В2 + γ В3 = α (1, 1, 0) + β (0, 2, 1) + γ (0, 0, 3)

α ∙ 1 + β ∙ 0 + γ ∙ 0 = к

α ∙ 1 + β ∙ 2 + γ ∙ 0 = и

α ∙ 0 + β ∙ 1 + γ ∙ 3 = з

Где имате:

α = к

α + 2 β = и

β + 3 γ = з

Прва означава α = к, друга β = (ик) / 2 и трећа γ = (з- и / 2 + к / 2) / 3. На овај начин смо пронашли генераторе α, β и γ било којег триплета Р3

Одговор ц

Кренимо даље да нађемо компоненте троструког В = (-3,5,4) у бази В1 , В2 , В3 .

Заменујемо одговарајуће вредности у изразима који су пронађени горе за генераторе.

У овом случају имамо: α = -3; β = (5 - (- 3)) / 2 = 4; γ = (4- 5/2 + (- 3) / 2) / 3 = 0

То је:

(-3,5,4) = -3 (1, 1, 0) + 4 (0, 2, 1) + 0 (0, 0, 3)

До последњег:

В = -3 В1 + 4 В2 + 0 В3

Закључујемо да В1, В2, В3 чине основу у векторском простору Р³ димензије 3.

-Вежба 2

Изразите полином П (т) = т² + 4т -3 као линеарну комбинацију П1 (т) = т² -2т + 5, П2 (т) = 2т² -3т и П3 (т) = т + 3.

Решење

П (т) = к П1 (т) + и П2 (т) + з П3 (т)

где треба одредити бројеве к, и, з.

Множењем и груписањем појмова с истим степеном у т, добијамо:

т² + 4 т -3 = (к + 2и) т² + (-2к -3и + з) т + (5к + 3з)

Што нас доводи до следећег система једначина:

к + 2и = 1

-2к -3и + з = 4

5к + 3з = -3

Решења овог система једначина су:

к = -3, и = 2, з = 4.

То је:

П (т) = -3 П1 (т) + 2 П2 (т) + 4 П3 (т)

-Вежба 3

Покажите да су вектори в1 = (1, 0, -1, 2); в2 = (1, 1, 0, 1) и в3 = (2, 1, -1, 1) од Р2 су линеарно независни.

Решење

Линеарно комбинујемо три вектора в1 , в2 , в3 и захтевамо да комбинација дода нулот елемент Р⁴

а в1 + б в2 + ц в3 = 0

Односно,

а (1, 0, -1, 2) + б (1, 1, 0, 1) + ц (2, 1, -1, 1) = (0, 0, 0, 0)

То нас води до следећег система једначина:

а + б + 2 ц = 0

б + ц = 0

-а - ц = 0

2 а + б + ц = 0

Одузимајући први и четврти имамо: -а + ц = 0 што имплицира а = ц.

Али ако погледамо трећу једначину, имамо да је а = -ц. Једини начин да се а = ц = (- ц) држи је да ц буде 0, и стога ће а такође бити 0.

а = ц = 0

Ако овај резултат прикључимо у прву једначину, онда закључујемо да је б = 0.

Коначно а = б = ц = 0, тако да се може закључити да су вектори в1, в2 и в3 линеарно независни.

Референце

1. Липсцхутз, С. 1993. Линеарна алгебра. Друго издање. МцГрав-Хилл. 167-198.