ЧЕСТ ФАКТОР ГРУПИСАЊЕМ ПОЈМОВА: ПРИМЕРИ, ВЕЖБЕ - МАТХС - 2025

Заједнички фактор за груписање појмова је алгебарски процедура која вам омогућава да напишете неке алгебарских израза у облику фактора. Да бисте постигли овај циљ, прво морате правилно груписати израз и уочити да свака тако формирана група има, уствари, заједнички фактор.

Примена технике захтева одређену праксу, али је ни у једном тренутку не овладате. Погледајмо прво илустративни пример описан корак по корак. Тада читалац може применити оно што су научили у свакој од вежби које ће се појавити касније.

Слика 1. Узимање заједничког фактора груписањем израза олакшава рад с алгебарским изразима. Извор: Пикабаи.

На пример, претпоставимо да треба да узмете у обзир следећи израз:

2к ² + 2ки - 3зк - 3зи

Овај алгебарски израз састоји се од 4 мономера или термина, раздвојених знаковима + и -, наиме:

2к ² , 2ки, -3зк, -3зи

Гледајући изблиза, к је заједничко за прве три, али не и за последње, док је и заједничко другом и четвртом, а з је заједничко за трећу и четврту.

Дакле, у принципу не постоји заједнички фактор за четири термина истовремено, али ако су они груписани као што ће бити приказано у следећем одељку, могуће је да ће се појавити један који помаже да се израз напише као производ два или више Фактори.

Примери

Фактор израза: 2к ² + 2ки - 3зк - 3зи

1. корак : Груписање

2к ² + 2ки - 3зк - 3зи = (2к ² + 2ки) + (-3зк - 3зи)

Корак 2: Пронађите заједнички фактор сваке групе

2к ² + 2ки - 3зк - 3зи =

= (2к ² + 2ки) - (3зк + 3зи) =

= 2к (к + и) - 3з (к + и)

Важно сам : негативни знак је такође чест фактор који се мора узети у обзир.

Сада имајте на уму да се заграде (к + и) понављају у два термина добијена груписањем. То је заједнички фактор који се тражио.

Корак 3: Фактор целог израза

2к ² + 2ки - 3зк - 3зи = (к + и) (2к - 3з)

Са претходним резултатом постигнут је циљ факторинга, који није ништа друго до претварање алгебрског израза на основу додавања и одузимања појмова, у производ два или више фактора, у нашем примеру, од: (к + и) и (2к - 3з).

Важним питањима о заједничком фактору груписањем

Питање 1 : Како знати да је резултат тачан?

Одговор : Својство дистрибуције се примењује на добијени резултат, а након смањења и поједностављења, тако добијени израз мора одговарати оригиналу, ако не, постоји грешка.

У претходном примеру радимо обрнуто са резултатом да бисмо проверили да ли је тачно:

(к + и) (2к - 3з) = 2к ² -3зк + 2ки - 3зи

Како редослед додатака не мења зброј, након примене својства дистрибуције враћају се сви оригинални изрази, укључујући знакове, па је факторизација тачна.

Питање 2: Да ли је могло да се групише на други начин?

Одговор: Постоје алгебрски изрази који допуштају више облика груписања и друге који то не чине. У изабраном примеру читалац може и сам испробати друге могућности, на пример груписање овако:

2к ² + 2ки - 3зк - 3зи = (2к ² - 3зк) + (2ки - 3зи)

И можете проверити да ли је резултат исти као што је овде добијен. Проналажење оптималног групирања је ствар праксе.

Питање 3: Зашто је потребно узети један заједнички фактор из алгебричног израза?

Одговор : Зато што постоје апликације у којима факторски израз олакшава прорачуне. На пример, претпоставимо да желите да поставите 2к ² + 2ки - 3зк - 3зи једнаку 0. Које су могућности?

Да бисте одговорили на ово питање, факторски фактор је много кориснији од оригиналног развоја у смислу. Наведено је овако:

(к + и) (2к - 3з) = 0

Једна могућност да израз вреди 0 је да је к = -и, без обзира на вредност з. А друго је да је к = (3/2) з, без обзира на вредност и.

Вежбе

- Вежба 1

Издвојите заједнички фактор следећег израза груписањем појмова:

ак + аи + бк + би

Решење

Прва два су груписана, са заједничким фактором "а", а последња два са заједничким фактором "б":

ак + аи + бк + би = а (к + и) + б (к + и)

Једном када се то учини, открива се нови заједнички фактор, који је (к + и), тако да:

ак + аи + бк + би = а (к + и) + б (к + и) = (к + и) (а + б)

Још један начин за груписање

Овај израз подржава још један начин груписања. Да видимо шта се дешава ако су појмови преуређени и ако се направи група са онима који садрже к, а друга са онима који садрже и:

ак + аи + бк + би = ак + бк + аи + би = к (а + б) + и (а + б)

На овај начин нови заједнички фактор је (а + б):

ак + аи + бк + би = ак + бк + аи + би = к (а + б) + и (а + б) = (к + и) (а + б)

Што доводи до истог резултата из прве групе која је тестирана.

- Вежба 2

Следећи алгебарски израз треба да буде написан као резултат два фактора:

3а ³ - 3а ² б + 9аб ² -а ² + аб-3б ²

Решење

Овај израз садржи 6 појмова. Покушајмо груписати прво и четврто, друго и треће и коначно пето и шесто:

3а ³ - 3а ² б + 9аб ² -а ² + аб-3б ² = (3а ³ -а ² ) + (- 3а ² б + 9аб ² ) + (аб-3б ² )

Сада се сваки заградски фактор узима у обзир:

= (3а ³ -а ² ) + (- 3а ² б + 9аб ² ) + (аб -3б ² ) = а ² (3а - 1) + 3аб (3б –а) + б (а-3б)

На први поглед се чини да се ситуација искомпликовала, али читаоца не треба обесхрабрити, јер ћемо поново написати последњи израз:

а ² (3а - 1) + 3аб (3б –а) + б (а-3б) = а ² (3а - 1) + 3аб (3б-а) - б (3б-а)

Последња два појма сада имају заједнички фактор, а то је (3б-а), па се могу узети у обзир. Веома је важно да не изгубите из вида први термин а ² (3а - 1), који мора и даље пратити све као додатак, чак и ако с њим не радите:

а ² (3а - 1) + 3аб (3б-а) - б (3б-а) = а ² (3а - 1) + (3б-а) (3аб-б)

Израз је сведен на два термина и у последњем је откривен нови заједнички фактор, који је "б". Сада остаје:

а ² (3а - 1) + (3б-а) (3аб-б) = а ² (3а - 1) + б (3б-а) (3а-1)

Следећи заједнички фактор који се појављује је 3а - 1:

а ² (3а - 1) + б (3б-а) (3а-1) = (3а - 1)

Или ако више желите без заграда:

(3а - 1) = (3а - 1) (а ² –аб + 3б ² )

Може ли читалац пронаћи други начин груписања који води до истог резултата?

Слика 2. Предложене вежбе за факторинг. Извор: Ф. Запата.

Референце

1. Балдор, А. 1974. Елементарна алгебра. Цултурал Венезолана СА
2. Јименез, Р. 2008. Алгебра. Прентице Халл.
3. Главни случајеви факторинга. Опоравак од: јулиопрофе.нет.
4. УНАМ. Основна математика: Факторизација груписањем појмова. Факултет рачуноводства и управе.
5. Зилл, Д. 1984. Алгебра и тригонометрија. МацГрав Хилл.