БИЈЕКТИВНА ФУНКЦИЈА: ШТА ЈЕ ТО, КАКО СЕ ИЗВОДИ, ПРИМЕРИ, ВЕЖБЕ - МАТХС - 2025

Бијецтиве функција је онај који задовољава двоструки услов да буде ињективна и сурјецтиве . Односно, сви елементи домена имају јединствену слику у кодомеену, а заузврат је кододомена једнака рангу функције ( Р _ф ).

То се испуњава разматрањем односа један на један између елемената домене и кодомана. Једноставан пример је функција Ф: Р → Р дефинисана линијом Ф (к) = к

Извор: Аутор

Примећено је да за сваку вредност домене или почетни скуп (оба термина се примењују подједнако) постоји једна слика у кодном домену или скупу доласка. Поред тога, не постоји ниједан елемент кодомеина осим слике.

На овај начин Ф: Р → Р дефинирано линијом Ф (к) = к је бијективно

Како се врши бијективна функција?

Да бисте одговорили на то, потребно је да будете јасни о појмовима „ Ињективност“ и „ Прејективност“ функције , поред критеријума за условљавање функција како бисте их прилагодили захтевима.

Ињективност функције

Функција је ињективна када је сваки од елемената своје домене повезан са једним елементом кодомаине. Елемент кодомаина може бити само слика једног елемента домене, на тај начин се вредности зависне променљиве не могу поновити.

Да би се функција сматрала ињективном , мора се испунити следеће:

∀ к ₁ = к ₂ ⇒ Ф (к ₁ ) = Ф (к ₂ )

Сурјективност функције

Функција је класификована као сурјективна ако је сваки елемент њене кодне слике слика најмање једног елемента домене.

Да би се функција сматрала сурјективом , мора се испунити следеће:

Нека је Ф: Д _ф → Ц _ф

∀ б ℮ Ц _ф Е а ℮ Д _ф / Ф (а) = б

Ово је алгебарски начин да се утврди да за сваки „б“ који припада Ц _ф постоји „а“ који припада Д _ф тако да је функција процењена у „а“ једнака „б“.

Функционално кондиционирање

Понекад се функција која није бијективна може подвргнути одређеним условима. Ови нови услови могу да га чине бијективном функцијом. Све врсте модификација домене и кодне домене функције су валидне, при чему је циљ испунити својства ињективности и сурјективности у одговарајућем односу.

Примери: решене вежбе

Вежба 1

Нека је функција Ф: Р → Р дефинисана линијом Ф (к) = 5к +1

А:

Примећено је да за сваку вредност домена постоји слика у кодном домену. Ова слика је јединствен због чега П ињективна функција . На исти начин опажамо да је кодна функција функције једнака њеном рангу. Тако испуњавајући услов сурјективности .

Будући да је истовремено ињективан и сурјективан, то можемо и закључити

Ф: Р → Р дефинирано линијом Ф (к) = 5к +1 је бијективна функција.

Ово се односи на све линеарне функције (функције чији је највиши степен променљиве једна).

Вежба 2

Нека функција Ф: Р → Р буде дефинисана са Ф (к) = 3к ² - 2

Када се црта хоризонтална линија, примећује се да се граф налази више пута. Због тога функција Ф није ињективна и зато неће бити бективна све док је дефинирана у Р → Р

Слично томе, постоје и кодне вредности које нису слике ниједног елемента домене. Због тога функција није сурјективна, што такође заслужује условити скуп доласка.

Прелазимо на условљавање домена и кодне функције функције

Ф: →

Тамо где се примећује да нови домен покрива вредности од нуле до позитивне бесконачности. Избегавање понављања вредности које утичу на ињективност.

Исто тако, кододомена је модификована, рачунајући од "-2" до позитивне бесконачности, елиминишући из кодомена вредности које нису одговарале ниједном елементу домене

На овај начин може се осигурати да је Ф : → дефинисано са Ф (к) = 3к ² - 2

То је бијективно

Вежба 3

Нека функција Ф: Р → Р буде дефинисана са Ф (к) = Сен (к)

У интервалу синусна функција варира резултате између нуле и једне.

Извор: Аутор.

Функција Ф не одговара критеријумима ињективности и сурјективности, јер се вредности зависне променљиве понављају сваки интервал од π. Даље, термини кодомана изван интервала нису слике ниједног елемента домена.

Када се проучава граф функције Ф (к) = Сен (к) , посматрају се интервали у којима понашање кривуље задовољава критеријуме биктивности . Као на пример, интервал Д _ф = за домен. И Ц _ф = за кодомену.

Где функција варира резултира од 1 до -1, без понављања било које вриједности у зависној варијабли. А истовремено је кододин једнак вредностма усвојеним изразом Сен (к)

Тако је функција Ф: → дефинисана са Ф (к) = Сен (к). То је бијективно

Вежба 4

Наведите потребне услове за Д _ф и Ц _ф . Дакле, израз

Ф (к) = -к ² бе бијецтиве.

Извор: Аутор

Понављање резултата примећује се када променљива има супротне вредности:

Ф (2) = Ф (-2) = -4

Ф (3) = Ф (-3) = -9

Ф (4) = Ф (-4) = -16

Домен је условљен, ограничавајући га на десну страну стварне линије.

Д _ф =

На исти начин се примећује да је опсег ове функције интервал, који када делује као кододин испуњава услове сурјективности.

На овај начин то можемо закључити

Израз Ф: → дефинисан са Ф (к) = -к ² Бијејективан је

Предложене вежбе

Проверите да ли су следеће функције бијективне:

Ф: → Р дефинисано са Ф (к) = 5цтг (к)

Ф: → Р дефинисано са Ф (к) = Цос (к - 3)

Ф: Р → Р дефинисано линијом Ф (к) = -5к + 4

Референце

1. Увод у логику и критичко мишљење. Меррилее Х. Салмон. Универзитет у Питсбургу
2. Проблеми у математичкој анализи. Пиотр Билер, Алфред Витковски. Универзитет Вроцлав. Пољска.
3. Елементи апстрактне анализе. Мицхеал О'Сеарцоид Одељење за математику. Универзитетски факултет Даблин, Белдфиелд, Дублинд 4
4. Увод у логику и методологију дедуктивних наука. Алфред Тарски, Њујорк Оксфорд. Окфорд Университи пресс.
5. Принципи математичке анализе. Енрикуе Линес Есцардо. Уредништво Реверте С. А 1991. Барцелона, Шпанија.