ИЊЕКТИВНА ФУНКЦИЈА: ШТА ЈЕ, ЧЕМУ СЛУЖИ И ПРИМЕРИ - МАТХС - 2025

Ињективно пресликавање је сваки однос елемената домена са једним елемент цодомаин. Познате и као функција један на један ( 1 - 1 ), оне су део класификације функција с обзиром на начин повезаности њихових елемената.

Елемент кодомаина може бити само слика једног елемента домене, на тај начин се вредности зависне променљиве не могу поновити.

Извор: Аутор.

Јасан пример би било груписање мушкараца са пословима у групи А, а у групи Б сви шефови. Функција Ф ће бити та која сваког радника повезује са својим шефом. Ако је сваки радник повезан с другим шефом преко Ф , тада ће Ф бити ињективна функција .

Да би се функција сматрала ињективном , мора се испунити следеће:

∀ к ₁ = к ₂ ⇒ Ф (к ₁ ) = Ф (к ₂ )

Ово је алгебарски начин казивања За сваки к ₁ различит од к ₂ имамо Ф (к ₁ ) различит од Ф (к ₂ ).

За шта се користе функције убризгавања?

Ињективност је својство континуираних функција, јер оне осигуравају доделу слика за сваки елемент домене, што је суштински аспект у континуитету функције.

Када цртате линију паралелну са оси Кс на графу ињективне функције, граф треба додиривати само у једној тачки, без обзира на којој висини или величини И је црта. Ово је графички начин за тестирање ињективности функције.

Други начин да се провјери је ли функција ињективна је рјешавањем независне варијабле Кс у зависности од варијабле И. Тада се мора провјерити садржи ли домена овог новог израза реалне бројеве, истовремено као и за сваку вриједност И постоји једна вредност Кс.

Функције или односи реда се, између осталог, придржавају и ознаке Ф: Д _ф → Ц _ф

Шта се чита Ф који иде од Д _ф до Ц _ф

Где функција Ф односи се на скупове Домаин и Цодомаин. Такође познат као почетни и завршни сет.

Домена Д _ф садржи дозвољене вредности за независну варијаблу. Цодомена Ц _ф састоји се од свих вредности доступних зависној варијабли. Елементи Ц _ф који се односе на Д _ф познати су као Опсег функције (Р _ф ).

Функционално кондиционирање

Понекад се функција која није ињективна може подвргнути одређеним условима. Ови нови услови могу учинити ињективну функцију. Све врсте модификација домене и кодне домене функције су валидне, при чему је циљ испунити својства ињективности у одговарајућем односу.

Примери функција убризгавања са решеним вежбама

Пример 1

Нека је функција Ф: Р → Р дефинисана линијом Ф (к) = 2к - 3

А:

Извор: Аутор.

Примећено је да за сваку вредност домена постоји слика у кодном домену. Ова слика је јединствена и чини Ф ињективном функцијом. Ово се односи на све линеарне функције (функције чији је највиши степен променљиве једна).

Извор: Аутор.

Пример 2

Нека функција Ф: Р → Р буде дефинисана са Ф (к) = к ² +1

Извор: Аутор

Када се црта хоризонтална линија, примећује се да се граф налази више пута. Због тога функција Ф није ињективна све док је дефинисано Р → Р

Прелазимо на условљавање домена функције:

Ф: Р ⁺ У {0} → Р

Извор: Аутор

Сада независна варијабла не узима негативне вредности, на тај начин се избегава понављање резултата и функција Ф: Р ⁺ У {0} → Р дефинисана са Ф (к) = к ² + 1 је ињективна .

Друго хомологно решење било би ограничити домен налево, односно ограничити функцију на само негативне и нулте вредности.

Прелазимо на условљавање домене функције

Ф: Р ^- У {0} → Р

Извор: Аутор

Сада независна варијабла не узима негативне вредности, на тај начин се избегава понављање резултата и функција Ф: Р ^- У {0} → Р дефинисана са Ф (к) = к ² + 1 је ињективна .

Тригонометријске функције имају таласно понашање, где је веома често наћи понављања вредности у зависној варијабли. Специфичним условљавањем, на основу претходног познавања ових функција, можемо смањити домен да бисмо задовољили услове инективности.

Пример 3

Нека је функција Ф: → Р дефинисана са Ф (к) = Цос (к)

У интервалу косинус функција варира резултате између нуле и један.

Извор: Аутор.

Као што се може видети на графу. Почиње од нуле на к = - π / 2, а затим достиже максимум на нули. Након к = 0 , вредности се почињу понављати, све док се не врате на нулу на к = π / 2. На овај начин је познато да Ф (к) = Цос (к) није интервално за интервал.

Када се проучава граф функције Ф (к) = Цос (к) , посматрају се интервали у којима се понашање кривуље прилагођава критеријумима ињективности. Као што је интервал

Где функција варира резултира од 1 до -1, без понављања било које вриједности у зависној варијабли.

На овај начин функцијска функција Ф: → Р дефинисана Ф (к) = Цос (к). Ињективан је

Постоје нелинеарне функције у којима се догађају слични случајеви. За изразе рационалног типа, где називник садржи најмање једну променљиву, постоје ограничења која спречавају ињективност односа.

Пример 4

Нека је функција Ф: Р → Р дефинисана Ф (к) = 10 / к

Функција је дефинисана за све реалне бројеве, осим {0} који има неодређеност (Не може се поделити на нулу) .

Како се зависна променљива приближава нули са леве стране, узима врло велике негативне вредности, а одмах после нуле вредности зависне променљиве узимају велике позитивне цифре.

Овај поремећај чини израз Ф: Р → Р дефинисан с Ф (к) = 10 / к

Не буди ињективан.

Као што се види у претходним примерима, искључење вредности у домену служи „поправљању“ тих неодређености. Прелазимо на искључивање нуле из домена, остављајући почетне и завршне скупове дефинисане на следећи начин:

Р - {0} → Р

Где Р - {0} симболизује разлоге, осим скупа чији је једини елемент нула.

На овај начин, израз Ф: Р - {0} → Р дефинисан са Ф (к) = 10 / к је ињективан.

Пример 5

Нека је функција Ф: → Р дефинисана са Ф (к) = Сен (к)

У интервалу синусна функција варира резултате између нуле и једне.

Извор: Аутор.

Као што се може видети на графу. Почиње од нуле код к = 0, а затим достиже максимум на к = π / 2. Након к = π / 2, вредности почињу да се понављају, све док се не врате на нулу на к = π. На овај начин се зна да Ф (к) = Сен (к) није ињективан током интервала.

Када се проучава граф функције Ф (к) = Сен (к) , посматрају се интервали у којима се понашање кривуље прилагођава критеријумима ињективности. Као што је интервал

Где функција варира резултира од 1 до -1, без понављања било које вриједности у зависној варијабли.

На овај начин функција Ф: → Р дефинисана са Ф (к) = Сен (к). Ињективан је

Пример 6

Проверите да ли је функција Ф: → Р дефинисана са Ф (к) = Тан (к)

Ф: → Р дефинисано са Ф (к) = Цос (к + 1)

Ф: Р → Р дефинисано линијом Ф (к) = 7к + 2

Референце

1. Увод у логику и критичко мишљење. Меррилее Х. Салмон. Универзитет у Питсбургу
2. Проблеми у математичкој анализи. Пиотр Билер, Алфред Витковски. Универзитет Вроцлав. Пољска.
3. Елементи апстрактне анализе. Мицхеал О'Сеарцоид Одељење за математику. Универзитетски факултет Даблин, Белдфиелд, Дублинд 4.
4. Увод у логику и методологију дедуктивних наука. Алфред Тарски, Њујорк Оксфорд. Окфорд Университи пресс.
5. Принципи математичке анализе. Енрикуе Линес Есцардо. Уредништво Реверте С. А 1991. Барцелона, Шпанија.