АНАЛИТИЧКА ГЕОМЕТРИЈА: ОНО ШТО ПРОУЧАВА, ИСТОРИЈА, АПЛИКАЦИЈЕ - МАТХС - 2025

У аналитичке геометрије студије линије и геометријски облици применом основних техника алгебре и математичке анализе у датом координатном систему.

Сходно томе, аналитичка геометрија је грана математике која детаљно анализира све податке геометријских фигура, односно волумен, углове, површину, тачке пресека, њихове удаљености, између осталог.

Основна карактеристика аналитичке геометрије је та што омогућава приказ геометријских фигура кроз формуле.

На пример, ободи су представљени полиномним једначинама другог степена, док су линије изражене полиномним једначинама првог степена.

Аналитичка геометрија настаје у седамнаестом веку због потребе да се одговоре на проблеме који до сада нису имали решења. Њени главни представници били су Рене Десцартес и Пиерре де Фермат.

Данас га многи аутори указују на револуционарну креацију у историји математике, јер представља почетак модерне математике.

Историја аналитичке геометрије

Израз аналитичка геометрија појавио се у Француској у седамнаестом веку због потребе да се одговоре на проблеме који се не могу решити изолацијом алгебре и геометрије, али решење је у комбинованој употреби обоје.

Главни представници аналитичке геометрије

Током седамнаестог века двојица Француза случајно у животу спровела су истраживања која су се на овај или онај начин завршила у стварању аналитичке геометрије. Ти људи су били Пиерре де Фермат и Рене Десцартес.

Тренутно се сматра да је творац аналитичке геометрије био Рене Десцартес. То је због чињенице да је он објавио своју књигу пре Ферматове књиге, а такође и дубоко са Десцартесом на тему аналитичке геометрије.

Међутим, и Фермат и Десцартес су открили да се линије и геометријске фигуре могу изразити једначинама, а једначине могу бити изражене као линије или геометријске фигуре.

Према открићима ове двојице, може се рећи да су обојица креатори аналитичке геометрије.

Пиерре де Фермат

Пиерре де Фермат био је француски математичар рођен 1601. године, а умро 1665. Током живота проучавао је геометрију Еуклида, Аполонија и Папуса, како би решио проблеме са мерењима који су постојали у то време.

Касније су ове студије покренуле стварање геометрије. На крају су изражени у његовој књизи "Увод у равна и чврста места" (Ад Лоцос Планос ет Солидос Исагоге), која је објављена 14 година након његове смрти 1679.

Пјер де Фермат је 1623. године применио аналитичку геометрију на Аполонијеве теореме на геометријским местима. Такође је био први који је примијенио аналитичку геометрију на тродимензионални простор.

Рене Десцартес

Познат и као Цартесиус, био је математичар, физичар и филозоф који је рођен 31. марта 1596. године у Француској и умро 1650. године.

Рене Десцартес објавио је 1637. своју књигу "Дискурс о методи исправног вођења разума и тражења истине у наукама" познатијој као "Метода" и одатле је у свет уведен термин аналитичка геометрија. Један од његових прилога био је "Геометрија".

Основни елементи аналитичке геометрије

Аналитичка геометрија се састоји од следећих елемената:

Картезијански координатни систем

Овај систем је добио име по Рене Десцартес.

Није га именовао, нити онај који је довршио картузијански координатни систем, већ је он говорио о координатама с позитивним бројевима, што је омогућило будућим учењацима да га доврше.

Овај систем се састоји од правокутног координатног система и поларног координатног система.

Правокутни координатни системи

Правокутни координатни системи се називају равнином која је формирана трасирањем две бројевне линије окомите једна на другу, где се тачка пресека подудара са заједничком нулом.

Тада би се овај систем састојао од хоризонталне и вертикалне.

Хоризонтална линија је ос Кс или апсиса. Окомита линија била би оси И или ординатна ос.

Поларни координатни систем

Овај систем је задужен за провјеру релативног положаја тачке у односу на фиксну линију и на фиксну тачку на линији.

Картезијанска једначина правца

Ова једначина је добијена из правца када су познате две тачке кроз које пролази.

Права линија

Она је која не одступа и због тога нема ни кривина ни углова.

Цоницс

Они су криве дефинисане линијама које пролазе кроз фиксну тачку и тачкама кривуље.

Елипса, обим, парабола и хипербола су коничне кривине. Сваки од њих је описан у наставку.

Кружница

Кружење се назива затворена крива равни која је формирана од свих тачака равнине које су подједнаке удаљене од унутрашње тачке, односно од средишта обима.

Успоредба

То је мјесто тачака у равнини које су једнаке удаљености од фиксне тачке (фокус) и фиксне линије (дирецтрик). Дакле, директрик и фокус су оно што дефинише параболу.

Парабола се може добити као пресек коничне површине обртаја кроз равнину паралелну са генераратриком.

Елипса

Елипса је затворена крива која описује тачку која се креће у равнини тако да је збир њених растојања до две (2) фиксне тачке (зване жаришта) константан.

Хипербола

Хипербола се назива кривуља дефинисана као локус тачака у равнини, за које је разлика између растојања две фиксне тачке (жаришта) константна.

Хипербола има осовину симетрије која пролази кроз жаришта, звану жаришна ос. Такође има и други, а то је бисектор сегмента који на својим крајевима има фиксне тачке.

Апликације

Постоји много примена аналитичке геометрије у различитим областима свакодневног живота. На пример, параболу, један од основних елемената аналитичке геометрије, можемо наћи у многим алатима који се данас користе свакодневно. Неки од ових алата су следећи:

Сателитска антена

Параболичне антене имају рефлектор који настаје као резултат параболе која се ротира на оси наведене антене. Површина која настаје као резултат ове акције назива се параболоидом.

Ова способност параболоида назива се оптичким својством или својством рефлексије параболе, а захваљујући томе могуће је да параболоид рефлектује електромагнетне таласе које прима од механизма за пуњење који чини антена.

Висећи мостови

Када коноп подржава тежину која је хомогена, али је истовремено знатно већа од тежине самог ужета, резултат ће бити парабола.

Овај принцип је кључан за изградњу овјесних мостова, који су обично подржани широким челичним кабловским конструкцијама.

Принцип присподобе у висећим мостовима коришћен је у зградама попут моста Голден Гате, смештеног у граду Сан Франциско, у Сједињеним Државама, или Великог моста пролаза Акаши, који се налази у Јапану и повезује острво Аваји са Хонсхуом, главним острвом те земље.

Астрономска анализа

Аналитичка геометрија је такође имала врло специфичне и одлучујуће примене у пољу астрономије. У овом случају, елемент аналитичке геометрије који заузима средишњу фазу је елипса; Закон Јонеса Кеплера о кретању планета то одражава.

Кеплер, немачки математичар и астроном, утврдио је да је елипса крива која најбоље одговара кретању Марса; Претходно је тестирао кружни модел који је предложио Коперник, али усред својих експеримената закључио је да је елипса служила за цртање орбите савршено сличне планети коју је проучавао.

Захваљујући елипси, Кеплер је успео да потврди да се планете крећу по елиптичним орбитама; ово разматрање је била изјава такозваног другог Кеплеровог закона.

Из овог открића, којег је касније обогатио енглески физичар и математичар Исаац Невтон, било је могуће проучити орбитациона кретања планета и повећати знање које имамо о универзуму чији смо део.

Цассеграин телескоп

Телескоп Цассеграин назван је по свом проналазачу, физичару рођеном у Француској, Лаурент Цассеграин. У овом телескопу се користе принципи аналитичке геометрије, јер се углавном састоје од два огледала: прво је конкавно и параболично, а друго је карактеристично да је конвексно и хиперболично.

Локација и природа ових огледала омогућавају да се дефект познат као сферна аберација не догоди; Овај дефект спречава да се светлосни зраци одражавају у фокусу одређене леће.

Телескоп Цассеграин је веома користан за планетарно осматрање, а врло је свестран и једноставан за употребу.

Референце

1. Аналитичка геометрија. Преузето 20. октобра 2017. са британница.цом
2. Аналитичка геометрија. Преузето 20. октобра 2017. са енцицлопедиафматх.орг
3. Аналитичка геометрија. Преузето 20. октобра 2017. са кханцадеми.орг
4. Аналитичка геометрија. Преузето 20. октобра 2017. са википедиа.орг
5. Аналитичка геометрија. Преузето 20. октобра 2017 са вхитман.еду
6. Аналитичка геометрија. Преузето 20. октобра 2017. са стевартцалцулус.цом
7. Плане аналитичка геометрија Преузето 20. октобра 2017