СТЕПЕН ПОЛИНОМА: КАКО ГА ОДРЕДИТИ, ПРИМЕРИ И ВЕЖБЕ - МАТХС - 2025

Степен полинома у променљивој се даје термину који има највећи експонент, а ако полином има два или више варијабли, онда степен одређује збир експонената сваког термина, већа сума буде степен полинома.

Погледајмо како на практичан начин утврдити степен полинома.

Слика 1. Еинстеинова позната једначина за енергију Е је моном апсолутног степена 1 за променљиву масу, означену са м, јер се брзина светлости ц сматра константном. Извор: Пикселс.

Претпоставимо да је полином П (к) = -5к + 8к ³ + 7 - 4к ² . Овај полином је једна варијабла, у овом случају то је променљива к. Овај полином састоји се од неколико појмова који су следећи:

А шта је сада експонент? Одговор је 3. Стога је П (к) полином степена 3.

Ако предметни полином има више од једне променљиве, степен може бити:

-Апсолутно

-У односу на променљиву

Апсолутни степен налази се како је објашњено на почетку: додавање експонената сваког термина и одабир највећег.

Уместо тога, степен полинома у односу на неку од променљивих или слова највећа је вредност експонента који речено слово има. Тачка ће постати јаснија са примерима и решеним вежбама у наредним одељцима.

Примери степена полинома

Полиноми се могу класификовати по степену и могу бити првог степена, другог степена, трећег степена и тако даље. На пример на слици 1, енергија је мономија првог степена за масу.

Такође је важно напоменути да је број појмова које полином има једнак степену плус 1. Дакле:

- Полиноми првог степена имају 2 термина: а ₁ к + а _о

-Прином другог степена има 3 појма: а ₂ к ² + а ₁ к + а _о

-Примином трећег степена има 4 појма: а ₃ к ³ + а ₂ к ² + а ₁ к + а _или

И тако даље. Пажљиви читалац ће приметити да су полиноми у претходним примерима написани у опадајућем облику, односно да први постављају термин.

Следећа табела приказује разне полиноме, и једну и више променљивих, и њихове апсолутне степене:

Табела 1. Примери полинома и њихових степена

Полином	Степен
3к 4 + 5к 3 -2к + 3	4
7к 3 -2к 2 + 3к-6	3
6	0
к-1	једно
к 5 -бк 4 + абк 3 + аб 3 к 2	6
3к 3 и 5 + 5к 2 и 4 - 7ки 2 + 6	8

Последња два полинома имају више од једне променљиве. Од њих је израз са највишим апсолутним степеном означен масним словима, тако да читалац може брзо да провери степен. Важно је запамтити да када варијабла нема писани експонент, подразумева се да је наведени експонент једнак 1.

На пример, у означеном појму аб ³ к ² постоје три променљиве, и то: а, б и к. У овом термину, а се подиже на 1, то јест:

а = а ¹

Стога је аб ³ к ² = а ¹ б ³ к ²

Пошто је експонента б 3, а к је 2, одмах следи да је степен овог појма:

1 + 3 + 2 = 6

И је апсолутни степен полинома, јер ниједан други термин нема виши степен.

Процедура за рад са полиномима

При раду са полиномима важно је обратити пажњу на његов степен, јер је прво и пре обављања било које операције прикладно следити ове кораке у којима степен даје веома важне информације:

-Уредите полином преференције у опадајућем правцу. Дакле, израз са највишим степеном је на левој страни, а израз са најнижим степеном на десној.

-Умањите појмове, поступак који се састоји у додавању алгебрички свих израза исте променљиве и степена који се налазе у изразу.

-Ако је потребно, полином се попуњава, убацујући изразе чији је коефицијент 0, у случају да постоје недостајући појмови са експонентом.

Наручите, смањите и употпуните полином

С обзиром на полином П (к) = 6к ² - 5к ⁴ - 2к + 3к + 7 + 2к ⁵ - 3к ³ + к ⁷ -12, од њега се тражи да га наручи силазним редоследом, смањи сличне изразе, ако их има, и испуни недостајуће изразе. ако је тачан.

Прво на што треба обратити пажњу је појам са највећом експонентом, а то је степен полинома, за који се испоставило да је:

к ⁷

Стога је П (к) од степена 7. Затим је наређен полином, почевши од овог термина на левој страни:

П (к) = к ⁷ + 2к ⁵ - 5к ⁴ - 3к ³ + 6к ² - 2к + 3к + 7 -12

Сада се смањују слични појмови, а то су: - 2к и 3к са једне стране. А 7 и -12 с друге стране. Да би их смањили, коефицијенти се додају алгебрално и променљива остаје непромењена (ако се променљива не појављује поред коефицијента, запамтите да је к ⁰ = 1):

-2к + 3к = к

7 -12 = -5

Замените ове резултате у П (к):

П (к) = к ⁷ + 2к ⁵ - 5к ⁴ - 3к ³ + 6к ² + к -5

И на крају се полином испитује како би се видјело да ли неки експонент недостаје, а недостаје израз чији је експонент 6, па је употпуњен са нулама као што је овај:

П (к) = к ⁷ + 0к ⁶ + 2к ⁵ - 5к ⁴ - 3к ³ + 6к ² + к - 5

Сада је примећено да је полином остављен са 8 термина, пошто је, као што је речено, број појмова једнак степену + 1.

Важност степена полинома у сабирању и одузимању

Са полиномима можете изводити операције сабирања и одузимања, у којима се додају или одузимају само слични изрази, који су они са истом променљивом и истом степеном. Ако не постоје слични изрази, збрајање или одузимање је једноставно назначено.

Једном када је извршено сабирање или одузимање, при чему је последњи збир супротан, степен добијеног полинома увек је једнак или мањи од степена полинима који додаје највиши степен.

Решене вежбе

- Вежба решена 1

Пронађите следећу суму и одредите њен апсолутни степен:

а ³ - 8ак ² + к ³ + 5а ² к - 6ак ² - к ³ + 3а ³ - 5а ² к - к ³ + а ³ + 14ак ² - к ³

Решење

То је полином са две променљиве, па је прикладно смањити сличне појмове:

а ³ - 8ак ² + к ³ + 5а ² к - 6ак ² - к ³ + 3а ³ - 5а ² к - к ³ + а ³ + 14ак ² - к ³ =

= а ³ + 3а ³ + а ³ - 8ак ² - 6ак ² + 14ак ² + 5а ² к - 5а ² к + к ³ - к ³ - к ³ - к ³ =

= 5а ³ - 2к ³

Оба термина су степена 3 у свакој променљивој. Стога је апсолутни степен полинома 3.

- Вежба решена 2

Изразите површину следеће равни геометријске фигуре као полином (слика 2 лево). Колики је степен насталог полинома?

Слика 2. С лијеве стране, лик за ријешену вјежбу 2, а с десне стране, иста фигура се декомпонирала у три подручја чији је израз познат. Извор: Ф. Запата.

Решење

Пошто је то подручје, добијени полином мора бити степена 2 у променљивој к. Да би се одредио одговарајући израз за то подручје, лик се декомпонује на позната подручја:

Површина правоугаоника и троугла су респективно: основица к висина и основица к висина / 2

А ₁ = к. 3к = 3к ² ; А ₂ = 5. к = 5к; А ₃ = 5. (2к / 2) = 5к

Напомена : основа троугла је 3к - к = 2к и његова висина је 5.

Сада су додата три добијена израза, с тим да имамо површину слике као функцију к:

3к ² + 5к + 5к = 3к ² + 10к

Референце

1. Балдор, А. 1974. Елементарна алгебра. Цултурал Венезолана СА
2. Јименез, Р. 2008. Алгебра. Прентице Халл.
3. Викибоокс. Полиноми. Опоравак од: ес. викибоокс.орг.
4. Википедиа. Степен (полином). Опоравак од: ес.википедиа.орг.
5. Зилл, Д. 1984. Алгебра и тригонометрија. Мац Грав Хилл.