ШЕСТЕРОКУТ: СВОЈСТВА, ДИЈАГОНАЛА, ОБОД, ПОВРШИНА - МАТХС - 2025

Седамнаестоугао је редовни полигон са 17 страна и 17 врхова. Његова конструкција може се извести у еуклидском стилу, то јест користећи само равнало и компас. Поступак за његову изградњу 1796. пронашао је велики математички гениј Царл Фриедрицх Гаусс (1777-1855), стар једва 18 година.

Наводно је Гаусс увек био склон овој геометријској фигури, до те мере да је од дана када је открио њену конструкцију одлучио да буде математичар. Такође се каже да је желео да му се на надгробном споменику угравира хептадекагон.

Слика 1. Шестерокут је правилан полигон са 17 страна и 17 врхова. Извор: Ф. Запата.

Гаусс је такође пронашао формулу како би одредио који правилни полигони могу да се граде са владаром и компасом, јер неки немају тачну еуклидску конструкцију.

Карактеристике хептадекагона

Што се његових карактеристика тиче, као и сваки полигон, важан је збир његових унутрашњих углова. У правилном полигону са н странама, збир је дат:

Ова сума, изражена у радијанима, изгледа овако:

Из горњих формула се лако може закључити да сваки унутрашњи угао хептадекагона има тачну меру α коју даје:

Из тога слиједи да је унутрашњи угао отприлике:

Дијагонале и обод

Дијагонале и обод су други важни аспекти. У било којем полигону број дијагонала је:

Д = н (н - 3) / 2 и у случају хептадекагона, као н = 17, тада имамо Д = 119 дијагонале.

С друге стране, ако је позната дужина сваке стране хептадекагона, периметар правилног хептадекагона се проналази једноставно додавањем 17 пута веће дужине или онога што је еквивалентно 17 пута дужини д сваке стране:

П = 17 д

Периметар хептадекагона

Понекад је познат само радијус р хептадекагона, па је потребно развити формулу за овај случај.

У ту сврху уводи се концепт апотеме. Апотема је сегмент који иде од средишта правилног полигона до средине једне стране. Апотема у односу на једну страну је окомита на ту страну (види слику 2).

Слика 2. Приказани су делови правилног полигона са полумјером р и његов апотем. (Властита обрада)

Поред тога, апотем је бисектор угла са средишњом врхом и страницама на две узастопне врхове полигона, што омогућава проналажење односа између полупречника р и стране д.

Ако се централни угао ДОЕ назива β и узимајући у обзир да је апотем ОЈ бисектор, имамо ЕЈ = д / 2 = р Сен (β / 2), из којег имамо однос да пронађемо дужину д странице полигона познат је његов радијус р и његов централни угао β:

д = 2 р Сен (β / 2)

У случају хептадекагона β = 360º / 17, имамо:

д = 2 р Сен (180º / 17) ≈ 0,3675 р

Коначно, добива се формула за обод хептадекагона, познат по његовом радијусу:

П = 34 р Сен (180º / 17) ≈ 6.2475 р

Периметар хептадекагона је близу ободу обима који га окружује, али његова вредност је мања, односно периметар описаног круга је Пцир = 2π р ≈ 6.2832 р.

Подручје

Да бисмо одредили површину хептадекагона, погледаћемо слику 2, која приказује стране и апотеме правилног полигона са н странама. На овој слици троугао ЕОД има површину једнаку бази д (страна полигона) која је већа од висине а (апотема полигона) подељена са 2:

ЕОД површина = (дка) / 2

Дакле, знајући апотему а хептадекагона и бочне стране д истог, његово подручје је:

Површина хептадекагона = (17/2) (дка)

Подручје са стране

Да би се добила формула за подручје хептадекагона који зна дужину његових седамнаест страна, потребно је добити однос између дужине апотема а и стране д.

У вези са сликом 2, добија се следећи тригонометријски однос:

Тан (β / 2) = ЕЈ / ОЈ = (д / 2) / а, где је β централни угао ДОЕ. Тако се апотема а може израчунати ако су позната дужина д странице полигона и централни угао β:

а = (д / 2) котан (β / 2)

Ако је овај израз замењен апотемом, у формули за површину хептадекагона добијене у претходном одељку имамо:

Површина хептадекагона = (17/4) (д ² ) Котан (β / 2)

Будући да је β = 360º / 17 за хептадекагон, тако да коначно имамо жељену формулу:

Површина хептадекагона = (17/4) (д ² ) Цотан (180º / 17)

Површина с обзиром на радијус

У претходним одељцима пронађен је однос између стране д правилног полигона и његовог радијуса р, при чему је овај однос следећи:

д = 2 р Сен (β / 2)

Овај израз за д је убачен у израз добијен у претходном одељку за област. Ако се изврше одговарајуће замене и поједностављења, добија се формула која омогућава израчунавање површине хептадекагона:

Површина хептадекагона = (17/2) (р ² ) Сен (β) = (17/2) (р ² ) Сен (360º / 17)

Приближан израз за то подручје је:

Површина хептадекагона = 3.0706 (р ² )

Као што се и очекивало, ово је подручје нешто мање од површине круга који описује хептадекагон А _цирц = π р ² ≈ 3.1416 р ² . Да будем прецизнији, то је 2% мање него у односу на његов прописани круг.

Примери

Пример 1

Да бисте одговорили на питање, потребно је запамтити однос између странице и полупречника правилног н-једностраног полигона:

д = 2 р Сен (180º / н)

За хептадекагон н = 17, тако да је д = 0,3675 р, то јест, полумјер хептадекагона је р = 2 цм / 0,3675 = 5,4423 цм или

Пречник 10.8844 цм.

Периметар бочног хептадекагона од 2 цм је П = 17 * 2 цм = 34 цм.

Пример 2

Морамо се позвати на формулу приказану у претходном одељку, која нам омогућава да пронађемо подручје хептадекагона када има дужину д од своје стране:

Површина хептадекагона = (17/4) (д ² ) / Тан (180º / 17)

Замјеном д = 2 цм у претходној формули, добивамо:

Површина = 90,94 цм

Референце

1. ЦЕА (2003). Елементи геометрије: са вежбама и компасом. Универзитет у Меделину.
2. Цампос, Ф., Церецедо, ФЈ (2014). Математика 2. Групо Редакција Патриа.
3. Фреед, К. (2007). Откријте полигоне. Бенцхмарк Едуцатион Цомпани.
4. Хендрик, В. (2013). Генерализовани полигони. Биркхаусер.
5. ИГЕР. (сф) Математика први семестар Тацана. ИГЕР.
6. Јр. геометри (2014). Полигони. Лулу Пресс, Инц.
7. Миллер, Хеерен и Хорнсби. (2006). Математика: Образложење и апликације (десето издање). Пеарсон Едуцатион.
8. Патино, М. (2006). Математика 5. Уреднички зборник.
9. Сада, М. Прави полигон са 17 страна са владаром и компасом. Опоравак од: геогебра.орг
10. Википедиа. Хептадецагон. Опоравак од: ес.википедиа.цом