- Које су димензије?
- Тродимензионални простор
- Четврта димензија и време
- Координате хиперкубе
- Отварање хиперкубе
- Референце
Хиперцубе је коцка димензије н. Конкретни случај четверодимензионалне хиперкубе назива се тессеракт. Хиперкуба или н-коцка састоји се од равних сегмената, сви једнаке дужине који су правокутни у својим врховима.
Људска бића опажају тродимензионални простор: ширину, висину и дубину, али код нас није могуће визуализовати хиперкуб са димензијом већом од 3.
Слика 1. 0-коцка је тачка, ако се та тачка шири у правцу удаљености а формира 1-коцку, ако та 1-коцка протеже растојање а у правокутном смеру имамо 2-коцку (од стране к до а), ако се 2-коцка протеже на удаљености у правокутном смеру, имамо 3-коцку. Извор: Ф. Запата.
Највише можемо да направимо пројекције у тродимензионалном простору како бисмо га приказали, на сличан начин на који пројектујемо коцку на равнину да бисмо је представили.
У димензији 0 једина је фигура тачка, па је коцка 0-тачка. 1-коцка је равни сегмент, који се формира померањем тачке у једном правцу према удаљености а.
Са своје стране, 2-коцка је квадрат. Конструира се помицањем 1-коцке (сегмент дужине а) у смјеру и, који је правокутан на смјер к, удаљеност а.
3-коцка је уобичајена коцка. Грађен је од квадрата померањем у трећем правцу (з), који је правокотан на правце к и и, удаљеност а.
Слика 2. 4-коцка (тессерацт) је продужетак 3-коцке у ортогоналном смеру до три конвенционална просторна смера. Извор: Ф. Запата.
4-коцка је тессеракт, који је изграђен од 3-коцке која се креће правокутно, удаљеност а, према четвртој димензији (или четвртом правцу), коју не можемо опазити.
Тессеракт има све своје праве углове, има 16 врхова, а све његове ивице (укупно 18) имају једнаку дужину а.
Ако је дужина ивица н-коцке или хиперкубе димензије н једнака, онда је то хиперкуба јединице, у којој најдужа дијагонала мери √н.
Слика 3. Н-коцка је добијена из (н-1) -кубе која га пружа правокотно у следећој димензији. Извор: викимедиа цоммонс.
Које су димензије?
Димензије су степени слободе или могући правци у којима се предмет може кретати.
У димензији 0 не постоји могућност превођења и једини могући геометријски објект је тачка.
Димензија у еуклидском простору представљена је оријентисаном линијом или осе која дефинише ту димензију, која се назива оса Кс. Раздвајање две тачке А и Б је еуклидска удаљеност:
д = √.
У две димензије простор је представљен двема линијама орјентисаним, названим оси Кс и оси И.
Положај било које тачке у овом дводимензионалном простору дат је паром картезијанских координата (к, и), а удаљеност између било које две тачке А и Б биће:
д = √
Јер то је простор у коме се испуњава Еуклидова геометрија.
Тродимензионални простор
Тродимензионални простор је простор у којем се крећемо. Има три смера: ширину, висину и дубину.
У празној соби, окомити углови дају ова три смера и сваком можемо придружити осовину: Кс, И, З.
Овај простор је такође еуклидски, а удаљеност између две тачке А и Б израчунава се на следећи начин:
д = √
Људска бића не могу да опажају више од три просторне (или еуклидске) димензије.
Међутим, са строго математичког становишта могуће је дефинисати н-димензионални еуклидски простор.
У овом простору тачка има координате: (к1, к2, к3,… .., кн), а растојање између две тачке је:
д = √.
Четврта димензија и време
У ствари, у теорији релативности време се третира као још једна димензија и са њим је повезана координата.
Али мора бити разјашњено да је та координата повезана са временом имагинарни број. Дакле, одвајање две тачке или догађаја у простор-времену није еуклидско, већ следи Лорентзовом метриком.
Четверодимензионални хиперкуб (тессеракт) не живи у простор-времену, он припада четверодимензионалном еуклидском хипер-простору.
Слика 4. 3Д пројекција четверодимензионалног хиперкуба у једноставној ротацији око равнине која дели фигуру од предње налево, назад на десно и одоздо на доле. Извор: Викимедиа Цоммонс.
Координате хиперкубе
Координате врхова н-коцке усредсређене на исходиште добивају се обављањем свих могућих пермутација следећег израза:
(а / 2) (± 1, ± 1, ± 1,…., ± 1)
Где је дужина ивице.
-У обим једног н-коцке ивице а је: (а / 2) н (2 н ) = а Н .
-Дужа дијагонала је удаљеност између супротних врхова.
- Следећи су супротни врхови у квадрату : (-1, -1) и (+1, +1).
-И у коцки : (-1, -1, -1) и (+1, +1, +1).
-Дужа дијагонала н-коцке мери:
д = √ = √ = 2√н
У овом случају претпостављено је да је страна а = 2. За н-коцку стране било којој ће то бити:
д = а√н.
-Тессерацт има сваки од својих 16 врхова повезаних у четири ивице. Следећа слика приказује како су врхови повезани у тессеракту.
Слика 5. Приказано је 16 врхова четверодимензионалног хиперкуба и како су повезани. Извор: Викимедиа Цоммонс.
Отварање хиперкубе
Уобичајена геометријска фигура, на пример полиедар, може се развући у неколико фигура мање димензије.
У случају 2-коцке (квадрата) она се може поделити у четири сегмента, односно четири 1-коцке.
Слично томе, 3-коцкица се може развити у шест 2-коцкица.
Слика 6. Н-коцка се може развити у неколико (н-1)-коцка. Извор: Викимедиа Цоммонс.
4-коцка (тессерацт) може се развући у осам 3-коцкица.
Следећа анимација показује одвирање тессеракта.
Слика 7. 4-димензионална хиперкуба може се развити у осам тродимензионалних коцкица. Извор: Викимедиа Цоммонс.
Слика 8. Тродимензионална пројекција четверодимензионалног хиперкуба која врши двоструку ротацију око две ортогоналне равни. Извор: Викимедиа Цоммонс.
Референце
- Научна култура. Хиперкуба, визуелизујући четврту димензију. Опоравило од: цултурациентифица.цом
- Епсилони. Четверодимензионална хиперкуба или тессеракт. Опоравак од: епсилонес.цом
- Перез Р, Агуилера А. Метода за добијање тессеракта из развоја хиперкубе (4Д). Опораван од: ресеарцхгате.нет
- Викибоокс. Математика, Полиедре, Хиперкубе. Опоравак од: ес.викибоокс.орг
- Википедиа. Хиперцубе. Опоравак од: ен.википедиа.цом
- Википедиа. Тессерацт. Опоравак од: ен.википедиа.цом