ХОМОТЕЦИЈА: СВОЈСТВА, ВРСТЕ И ПРИМЕРИ - МАТХС - 2025

Дилатација је геометријска промена равни која, из фиксне тачке зове центар (О), растојања су помножен заједничким фактором. На овај начин, свака тачка П одговара производу трансформације друге тачке П ', а оне се поравнавају са тачком О.

Дакле, хомотетичност се односи на подударност две геометријске фигуре, где се трансформисане тачке називају хомотетичким, а оне су поравнате са фиксном тачком и са сегментима паралелним једна са другом.

Хомотеција

Хомотезија је трансформација која нема уједначену слику, јер ће се из фигуре добити једна или више фигура веће или мање величине од првобитне фигуре; то јест, да хомотеција претвара полигон у други сличан.

Да би се хомотеција испунила, тачка-тачка и линија до линија морају одговарати, тако да су парови хомологних тачака поравњени са трећом фиксном тачком, која је средиште хомотеције.

Исто тако, парови линија који их спајају морају бити паралелни. Однос између таквих сегмената је константа која се назива однос хомотеције (к); на такав начин да се хомотетичност може дефинисати као:

Да бисмо извршили ову врсту трансформације, започињемо одабиром произвољне тачке, која ће бити средиште хомотеције.

Од ове тачке цртају се сегменти линија за сваку верзију слике која се трансформише. Скала у којој се врши репродукција нове слике дат је односом хомотеције (к).

Својства

Једно од главних својстава хомотетике је да су, из хомотетичког разлога (к), све хомотетске фигуре сличне. Међу осталим изванредним својствима су следећа:

- Центар хомотеције (О) је једина двострука тачка и она се трансформише у себе; то јест, не варира.

- Линије које пролазе кроз центар трансформишу се у себе (двоструке су), али тачке које га чине нису двоструке.

- правци који не пролазе кроз центар трансформишу се у паралелне линије; на овај начин, углови хомотеције остају исти.

- Слика сегмента према хомотецији средишта О и омјера к, је сегмент паралелан овом и има к путању његову дужину. На пример, као што се може видети на следећој слици, сегмент АБ по хомотецији ће резултирати у другом сегменту А'Б ', тако да ће АБ бити паралелан са А'Б', а к ће бити:

- Хомотетички углови су сукладни; то јест, имају исту меру. Према томе, слика угла је угао који има исту амплитуду.

С друге стране, имамо да хомотеција варира у зависности од вредности њеног омјера (к), а могу се појавити сљедећи случајеви:

- Ако је константа к = 1, све тачке су фиксне јер се трансформишу. Тако се хомотетска фигура поклапа са изворном и трансформација ће се назвати функцијом идентитета.

- Ако к = 1, једина фиксна тачка биће средиште хомотетике (О).

- Ако је к = -1, хомотеција постаје централна симетрија (Ц); тј. догодити се ротација око Ц, под углом од 180 ^или .

- Ако је к> 1, величина трансформисане фигуре бит ће већа од оригинала.

- Ако је 0 <к <1, величина трансформисане фигуре биће мања од оригинала.

- Ако је -1 <к <0, величина трансформисане фигуре ће бити мања и она ће се ротирати у односу на изворник.

- Ако је к <-1, величина трансформисане фигуре бит ће већа и она ће се ротирати у односу на изворник.

Врсте

Хомотеција се такође може класификовати у две врсте, зависно од вредности њеног односа (к):

Директна хомотеција

Јавља се ако је константа к> 0; то јест, хомотетске тачке су на истој страни у односу на центар:

Фактор пропорционалности или омјер сличности између директних хомотетских фигура увијек ће бити позитиван.

Обрнута хомотетичност

Јавља се ако је константа к <0; то јест, почетне тачке и њихова хомотетика налазе се на супротним крајевима у односу на средиште хомотетике, али су поредане са њим. Центар ће бити између две фигуре:

Фактор пропорционалности или омјер сличности између инверзних хомотетских фигура увијек ће бити негативан.

Састав

Када се неколико покрета узастопно изводи док се не добије лик једнак изворном, настаје композиција покрета. Састав неколико покрета је такође покрет.

Композиција између две хомотеције резултира новом хомотетичношћу; то јест, постоји производ хомотетичности у коме ће средиште бити поравнато са центром двеју изворних трансформација, а однос (к) је производ двају односа.

Дакле, у саставу две хомотетије Х ₁ (О ₁ , к ₁ ) и Х ₂ (О ₂ , к ₂ ), множењем њихових односа: к ₁ кк ₂ = 1 резултираће хомотетичношћу односа к ₃ = к ₁ кк ₂ . Средиште ове нове хомотеције (О ₃ ) биће смештено на линији О ₁ О ₂ .

Хомотецији одговара равна и неповратна промена; Ако се примене две хомотетичности које имају исти центар и омјер, али с другачијим знаком, добиће се оригинална слика.

Примери

Први пример

Примените хомотетичност на задани полигон са средиштем (О), који се налази 5 цм од тачке А и чији је однос к = 0,7.

Решење

Било која тачка је изабрана као центар хомотеције, а од ове тачке се кроз врхове слике увлаче зраке:

Удаљеност од центра (О) до тачке А је ОА = 5; Овим се може одредити удаљеност једне од хомотетских тачака (ОА '), такође знајући да је к = 0,7:

ОА '= кк ОА.

ОА '= 0,7 к 5 = 3,5.

Процес се може обавити за сваки врх, или хомотетички полигон се такође може нацртати подсећајући да два полигона имају паралелне стране:

Коначно, трансформација изгледа овако:

Други пример

Примените хомотетичност на дати полигон са центром (О), који се налази 8,5 цм од тачке Ц и чији је омјер и к = -2.

Решење

Удаљеност од центра (О) до тачке Ц је ОЦ = 8,5; Помоћу ових података могуће је одредити удаљеност једне од хомотетских тачака (ОЦ '), такође знајући да је к = -2:

ОЦ '= кк ОЦ.

ОЦ '= -2 к 8,5 = -17

Након што нацртамо сегменте врхова трансформисаног полигона, имамо да се почетне тачке и њихова хомотетика налазе на супротним крајевима у односу на центар:

Референце

1. Алваро Рендон, АР (2004). Технички цртеж: радна свеска.
2. Антонио Алварез де ла Роса, ЈЛ (2002). Афинитет, хомологија и хомотетика.
3. Баер, Р. (2012). Линеарна алгебра и пројективна геометрија. Курирска корпорација.
4. Хеберт, И. (1980). Општа математика, вероватноће и статистика.
5. Месерве, БЕ (2014). Темељни појмови геометрије. Курирска корпорација.
6. Нацхбин, Л. (1980). Увод у алгебру. Реверте.