ПИТАГОРЕЈСКИ ИДЕНТИТЕТИ: ДЕМОНСТРАЦИЈА, ПРИМЕР, ВЕЖБЕ - МАТХС - 2025

Питагорејски идентитети су све тригонометријске једначине које имају било коју вредност угла и темеље се на питагорејској теореми. Најпознатији питагорејски идентитет је основни тригонометријски идентитет:

Син ² (α) + Цос ² (α) = 1

Слика 1. Питагорејски тригонометријски идентитети.

Следећи по значају и користим питагорејски идентитет тангенте и секанте:

Тан ² (α) + 1 = Сек ² (α)

И питагоровски тригонометријски идентитет који укључује котангенс и косецант:

1 + Цтг ² (α) = Цсц ² (α)

Демонстрација

Тригонометријски омјери синус и косинус приказани су на кругу радијуса један (1) познат као тригонометријски круг. Речени круг има своје средиште на почетку координата О.

Углови се мере од позитивне полу-осе Кс, на пример угла α на слици 2 (видети доле). Супротно од казаљке на сату ако је угао позитиван, у смеру казаљке на сату ако је негативан угао.

Нацртана је зрака са пореклом О и углом α, који пресреће јединични круг у тачки П. Тачка П се пројектује правокутно на водоравној оси Кс, стварајући тачку Ц. Слично се П пројектује окомито на вертикалну ос И, што даје место за тачку С.

Имамо прави троугао ОЦП на Ц.

Синус и косинус

Треба имати на уму да је синус тригонометријског односа дефинисан на правом троуглу на следећи начин:

Синуа угла троугла је однос или квоцијент између ноге супротне углу и хипотенузе троугла.

Примењен на трокут ОЦП на слици 2, изгледао би овако:

Сен (α) = ЦП / ОП

али ЦП = ОС и ОП = 1, тако да:

Сен (α) = ОС

Што значи да ОС пројекције на оси И има вредност једнаку синусу приказаног угла. Треба напоменути да се максимална вредност синуса угла (+1) јавља када је α = 90º, а минимална (-1) када је α = -90º или α = 270º.

Слика 2. Тригонометријски круг који приказује однос питагорејске теореме и темељног тригонометријског идентитета. (Властита обрада)

Слично томе, косинус угла је квоцијент између ноге која се налази поред угла и хипотенузе троугла.

Примењен на трокут ОЦП на слици 2, изгледао би овако:

Цос (α) = ОЦ / ОП

али ОП = 1, тако да:

Цос (α) = ОЦ

То значи да пројекција ОЦ на Кс оси има вредност једнаку синусу приказаног угла. Треба напоменути да се максимална вредност косинуса (+1) јавља када је α = 0º или α = 360º, док је најмања вредност косинуса (-1) када је α = 180º.

Темељни идентитет

За десни троугао ОЦП у Ц примењује се питагорејска теорема која каже да је збир квадрата ногу једнак квадрату хипотенузе:

ЦП ² + ОЦ ² = ОП ²

Али већ је речено да је ЦП = ОС = Сен (α), да је ОЦ = Цос (α) и да је ОП = 1, тако да се претходни израз може преписати као функција синуса и косинуса угла:

Син ² (α) + Цос ² (α) = 1

Ос тангенте

Баш као што је оса Кс у тригонометријском кругу косина косине, а оси И синусна оса, на исти начин постоји и тангенска осовина (види слику 3), која је тачно тангенска линија према јединичном кругу у тачки Б координата (1, 0).

Ако желите да знате вредност тангенте једног угла, угао се црта из позитивне полу-осе Кс, пресек угла са осе тангенте дефинише тачку К, дужина сегмента ОК је тангента угао.

То је зато што је по дефиницији, тангента угла α супротна нога КБ између суседне ноге ОБ. То јест, Тан (α) = КБ / ОБ = КБ / 1 = КБ.

Слика 3. Тригонометријски круг који приказује ос тангенте и питагорејски идентитет тангенте. (Властита обрада)

Питагорејски идентитет тангенте

Питагорејски идентитет тангенте може се доказати разматрањем правог троугла ОБК на Б (слика 3). Примењујући питагорејску теорему на овај троугао, имамо да је БК ² + ОБ ² = ОК ² . Али већ је речено да је БК = Тан (α), да је ОБ = 1 и да је ОК = Сец (α), тако да замењујући питагорејску једнакост за десни троугао ОБК имамо:

Тан ² (α) + 1 = Сец ² (α).

Пример

Проверите да ли су питагорејски идентитети испуњени у правом троуглу ногу АБ = 4 и БЦ = 3.

Решење: ноге су познате, треба утврдити хипотенузу, а то је:

АЦ = √ (АБ ^ 2 + БЦ ^ 2) = √ (4 ^ 2 + 3 ^ 2) = √ (16 + 9) = √ (25) = 5.

Угао ∡БАЦ ће се звати α, ∡БАЦ = α. Сада се одређују тригонометријски односи:

Сен α = БЦ / АЦ = 3/5

Цос α = АБ / АЦ = 4/5

Значи α = БЦ / АБ = 3/4

Котан α = АБ / БЦ = 4/3

Сец α = АЦ / АБ = 5/4

Цсц α = АЦ / БЦ = 5/3

Почиње са основним тригонометријским идентитетом:

Син ² (α) + Цос ² (α) = 1

(3/5) ^ 2 + (4/5) ^ 2 = 9/25 + 16/25 = (9 +16) / 25 = 25/25 = 1

Закључено је да је испуњено.

- Следећи питагорејски идентитет је тангента:

Тан ² (α) + 1 = Сек ² (α)

(3/4) ^ 2 + 1 = 9/16 + 16/16 = (9 + 16) / 16 = 25/16 = (5/4) ^ 2

И закључује се да је идентитет тангенте проверен.

- На сличан начин као код котангента:

1 + Цтг ² (α) = Цсц ² (α)

1+ (4/3) ^ 2 = 1 + 16/9 = 25/9 = (5/3) ^ 2

Закључено је да је такође испуњен, са чиме је завршен задатак верификације питагорејских идентитета за дати троугао.

Решене вежбе

Докажите следеће идентитете на основу дефиниција тригонометријских односа и питагорејских идентитета.

Вежба 1

Докажите да је Цос ² к = (1 + Син к) (1 - Син к).

Рјешење: На десној страни препознајемо изванредан продукт множења бинома путем његовог коњугата, што је, као што знамо, разлика у квадрату:

Цос ² к = 1 ² - Син ² к

Тада израз са синусом на десној страни прелази на леву страну са промењеним знаком:

Цос ² к + Сен ² к = 1

Констатујући да је постигнут основни тригонометријски идентитет, па се закључује да је дати израз идентитет, односно да важи за било коју вредност к.

Вежба 2

Полазећи од темељног тригонометријског идентитета и користећи дефиниције тригонометријских омјера, демонстрирамо питагорејски идентитет косецанта.

Решење: Основни идентитет је:

Син ² (к) + Цос ² (к) = 1

Оба члана деле Сен ² (к), а називник се дели првом члану:

Син ² (к) / Син ² (к) + Цос ² (к) / Син ² (к) = 1 / Син ² (к)

Поједностављено је:

1 + (Цос (к) / Сен (к)) ^ 2 = (1 / Сен (к)) ^ 2

Цос (к) / Сен (к) = Цотан (к) је идентитет (који није питагорејски) који се верификује самом дефиницијом тригонометријских односа. Исто се дешава са следећим идентитетом: 1 / Сен (к) = Цсц (к).

Коначно морате:

1 + Цтг ² (к) = Цсц ² (к)

Референце

1. Балдор Ј. (1973). Геометрија нивоа и простора са уводом у тригонометрију. Средњоамеричка културна. АЦ
2. ЦЕА (2003). Елементи геометрије: са вежбама и компасом. Универзитет у Меделину.
3. Цампос, Ф., Церецедо, ФЈ (2014). Математика 2. Групо Редакција Патриа.
4. ИГЕР. (сф) Математика први семестар Тацана. ИГЕР.
5. Јр. геометри (2014). Полигони. Лулу Пресс, Инц.
6. Миллер, Хеерен и Хорнсби. (2006). Математика: Образложење и апликације (десето издање). Пеарсон Едуцатион.
7. Патино, М. (2006). Математика 5. Уреднички зборник.
8. Википедиа. Тригонометријски идентитети и формуле. Опоравак од: ес.википедиа.цом