МАТЕМАТИЧКА ЛОГИКА: ПОРЕКЛО, ШТА СЕ ПРОУЧАВА, ВРСТЕ - МАТХС - 2025

Математичка логика или симболично логика је математички језик који покрива алати преко којих се може потврдити или негирати математичког образложење.

Познато је да у математици нема нејасноћа. С обзиром на математички аргумент, он је или валидан или једноставно није. Не може истовремено бити неистинита и истинита.

Посебан аспект математике је тај што он има формални и ригорозни језик којим се може утврдити ваљаност аргумента. Шта је то што неко одређено образложење или било који математички доказ чини непобитним? То је заправо математичка логика.

Дакле, логика је математичка дисциплина која је одговорна за проучавање математичког резоновања и доказа и пружање алата који могу извести тачан закључак из претходних изјава или приједлога.

Да бисте то учинили, користе се аксиоми и други математички аспекти који ће бити развијени касније.

Порекло и историја

Тачни датуми у погледу многих аспеката математичке логике су несигурни. Међутим, већина библиографија о овој теми прати њено порекло од античке Грчке.

Аристотел

Почетак ригорозног поступања са логиком делимично се приписује Аристотелу који је написао сет логичких дела која су касније саставили и развили различити филозофи и научници све до средњег века. То би се могло сматрати "старом логиком".

Касније, у оно што је познато као Савремено доба, Леибниз, покренуто дубоком жељом да успостави универзални језик да би математички размишљао, и други математичари, попут Готтлоб Фрегеа и Гиусеппе Пеано, значајно су утицали на развој математичке логике са великим доприносима , међу њима и пексиоксиоми, који формулишу незамењива својства природних бројева.

Математичари Георге Бооле и Георг Цантор су такође били од великог утицаја у ово време, са важним доприносима у табелама скупа и табелама истине, истичући, између осталог, бооле алгебру (Георге Бооле) и аксиом избора (аутор Георге Цантор)

Ту је и Аугустус Де Морган са добро познатим Морган-овим законима, који разматрају негације, коњункције, дисјункције и услов између приједлога, кључеве за развој симболичке логике, и Јхон Венн са познатим Венновим дијаграмима.

У 20. веку, отприлике између 1910. и 1913. године, Бертранд Русселл и Алфред Нортх Вхитехеад истичу се својим објављивањем Принципиа матхематица, скупом књига које сакупља, развија и постулира низ аксиома и резултата логике.

Шта проучава математичка логика?

Пропозиције

Математичка логика почиње проучавањем пропозиција. Приједлог је изјава која се може рећи без двосмислености је ли тачна или не. Следе примери приједлога:

• 2 + 4 = 6.
• 5 ² = 35.
• 1930. године у Европи је дошло до земљотреса.

Прва је истинита изјава, а друга лажна. Трећа, иако особа која је чита, можда не зна да ли је то истина или је одмах, изјава која се може тестирати и утврдити да ли се заиста догодила или не.

Следе примери израза који нису пропозиције:

• Плавуша је.
• 2к = 6.
• Хајде да се играмо!
• Волите ли филмове

У првом приједлогу није прецизирано ко је она, стога се ништа не може потврдити. У другом приједлогу, шта "к" представља није одређено. Ако би уместо тога било речено да је 2к = 6 за неки природни број к, у овом случају би то одговарало приједлогу, у ствари тачно, јер је за к = 3 тачно.

Последње две изјаве не одговарају предлогу, јер не постоји начин да их демантују или потврде.

Двије или више приједлога могу се комбиновати (или повезати) користећи добро познате логичке везе (или конекторе). Су:

• Порицање: "Не пада киша."
• Дисјункција: "Луиса је купила белу или сиву кесу."
• Конекција: "4 ² = 16 и 2 × 5 = 10".
• Условно: "Ако пада киша, нећу данас поподне у теретану."
• Бикондиционо: "Идем данас у поподне у теретану, и само ако не пада киша."

Предлог који нема ниједан од претходних везива назива се простим (или атомским) предлогом. На пример, "2 је мање од 4" је једноставан предлог. Пропозиције које имају неке везивне називе се сложеним пропозицијама, као што је "1 + 3 = 4 и 4 је парни број."

Изјаве дате пропозицијама обично су дуге, па је досадно писати их као што је то досад познато. Из тог разлога се користи симболички језик. Пропозиције су обично представљене великим словима као што су П, К, Р, С, итд. И симболичне везе као што следи:

Тако да

Цонверсе оф условног исказа

је предлог

И контра реципрочна (или контрапозитивна) пропозиција

је предлог

Табеле истине

Други важан концепт у логици је табела истине. Вриједности приједлога су двије могућности приједлога: истинита (која ће бити означена с В и рећи ће да је њена вриједност истине В) или лажна (што ће означити с Ф и рећи ће да је њена вриједност заиста је Ф).

Вредност сложеног предлога зависи искључиво од вредности истине једноставних пропозиција које се у њој појављују.

Да бисмо радили опћенитије, нећемо разматрати посебне пропозиције, већ пропозиционе променљиве п, к, р, с, итд., Које ће представљати било које пропозиције.

Помоћу ових променљивих и логичких веза настају познате пропозиционе формуле, баш као што се граде сложене пропозиције.

Ако се свака од променљивих која се појаве у пропозиционој формули замени пропозицијом, добија се сложен предлог.

Испод су табеле за истину за логичке везе:

Постоје пропозиционе формуле које у својој табели истине примају само вредност В, то јест, последњи ступац њихове таблице истине има вредност В. Ове врсте формула су познате као таутологије. На пример:

Следи табела истине формуле

За формулу α се каже да логично подразумева другу формулу β, ако је α тачно сваки пут када је β тачно. То јест, у табели истине α и β, редови где α има В, β такође имају В. Занимају нас само редови у којима α има вредност В. Нотација за логичку импликацију је следећа :

Следећа табела сажима својства логичке импликације:

За две формуле приједлога се каже да су логички еквивалентне ако су њихове таблице истине идентичне. Следећа нота се користи за изражавање логичке еквиваленције:

Следеће табеле резимирају својства логичке еквиваленције:

Врсте математичке логике

Постоје различите врсте логике, посебно ако се узме у обзир прагматична или неформална логика која указује на филозофију, између осталих подручја.

Што се математике тиче, врсте логике могу се сумирати као:

• Формална или аристотеловска логика (древна логика).
• Пропозициона логика: одговорна је за проучавање свега што се тиче ваљаности аргумената и приједлога користећи формални и симболички језик.
• Симболичка логика: усредсређена је на проучавање скупова и њихових својстава, такође са формалним и симболичким језиком, и дубоко је повезана са пропозицијском логиком.
• Комбинаторичка логика: једна од најновијих развијених, укључује резултате који се могу развити помоћу алгоритама.
• Логичко програмирање: користи се у различитим пакетима и програмским језицима.

Области

Међу областима које користе математичку логику на неопходан начин у развоју својих резоновања и аргумената, истичу се филозофија, теорија скупова, теорија бројева, алгебарска конструктивна математика и програмски језици.

Референце

1. Аилвин, ЦУ (2011). Логика, сетови и бројеви. Мерида - Венецуела: Савет за публикације, Универсидад де Лос Андес.
2. Баррантес, Х., Диаз, П., Мурилло, М., & Сото, А. (1998). Увод у теорију бројева. ЕУНЕД.
3. Цастанеда, С. (2016). Основни курс теорије бројева. Северни универзитет.
4. Цофре, А., и Тапиа, Л. (1995). Како развити математичко логичко образложење. Универзитетска издавачка кућа.
5. Сарагоса, АЦ (сф). Теорија бројева Уредничка визија Либрос.