ЗАКОНИ ЕКСПОНЕНАТА (СА ПРИМЕРИМА И РЕШЕНИМ ВЕЖБАМА) - МАТХС - 2025

На закони експоненти су они који се односе на тај број који означава колико пута базу број мора се множи са себе. Експоненти су такође познати као силе. Оснаживање је математичка операција формирана од базе (а), експонента (м) и снаге (б), која је резултат операције.

Експоненти се обично користе када се користе веома велике количине, јер то нису ништа друго него скраћенице које представљају множење истог броја у одређеној количини. Излошци могу бити и позитивни и негативни.

Објашњење закона експонената

Као што је раније речено, експоненти су скраћени облик који представља множење бројева по себи више пута, при чему се експонент односи само на број са леве стране. На пример:

2 ³ = 2 * 2 * 2 = 8

У том случају број 2 је основа снаге која ће се помножити 3 пута како показује експонент, а налази се у горњем десном углу базе. Постоје различити начини за читање израза: 2 подигнута на 3 или такође 2 подигнута на коцку.

Експоненти такође означавају колико се пута могу поделити, а да би разликовали ову операцију од множења, експонент има знак минус (-) испред себе (негативан је), што значи да је експонент у називнику а фракција. На пример:

2 ^{- 4} = 1/2 * 2 * 2 * 2 = 1/16

Ово се не сме бркати са случајем када је база негативна, јер ће зависити од тога да ли је експонент непаран или чак да се одреди да ли ће снага бити позитивна или негативна. Дакле, морате:

- Ако је експонент једнак, снага ће бити позитивна. На пример:

(-7) ² = -7 _* -7 = 49.

- Ако је експонент непаран, снага ће бити негативна. На пример:

( - 2) ⁵ = (-2) * (- 2) * (- 2) * (- 2) * (- 2) = - 32.

Постоји посебан случај у којем је, ако је експонент једнак 0, снага једнака 1. Постоји и могућност да је база 0; у том случају, овисно о експоненту, снага ће бити неодређена или не.

За обављање математичких операција са експонентима потребно је следити неколико правила или норми које олакшавају проналажење решења за те операције.

Први закон: снага експонента једнака 1

Када је експонент 1, резултат ће бити иста вредност базе: а ¹ = а.

Примери

9 ¹ = 9.

22 ¹ = 22.

895 ¹ = 895.

Други закон: снага експонента једнака 0

Када је експонент 0, ако је база неулазна, резултат ће бити: а ⁰ = 1.

Примери

1 ⁰ = 1.

323 ⁰ = 1.

1095 ⁰ = 1.

Трећи закон: негативни експонент

Пошто је експонте негативан, резултат ће бити уломак, где ће моћ бити називник. На пример, ако је м позитиван, тада је ^-м = 1 / а ^м .

Примери

- 3 ^-1 = 1/3.

- 6 ^-2 = 1/6 ² = 1/36.

- 8 ^-3 = 1/8 ³ = 1/512.

Четврти закон: умножавање моћи с једнаком базом

Да бисмо умножили снаге тамо где су базе једнаке и различите од 0, база остаје и додају се експоненти: а ^м _* а ^н = а ^{м + н} .

Примери

- 4 ⁴ _* 4 ³ = 4 ^{4 + 3} = 4 ⁷

- 8 ¹ _* 8 ⁴ = 8 ^{1 + 4} = 8 ⁵

- 2 ² _* 2 ⁹ = 2 ^{2 + 9} = 2 ¹¹

Пети закон: подјела власти с једнаком базом

Да би се поделиле снаге у којима су базе једнаке и различите од 0, задржава се база и одузимају се експоненте на следећи начин: а ^м / а ^н = а ^м-н .

Примери

- 9 ² /9 ¹ = 9 ^{(2 - 1)} = 9 ¹ .

- 6 ¹⁵ /6 ^{октобар} = 6 ^(15-10) = 6 ⁵ .

- 49 ^{децембра} / 49 ⁶ = 49 ^(12-6) = 49 ⁶ .

Шести закон: умножавање моћи са различитим основама

Овај закон има супротно ономе што је изражено у четвртом; то јест, ако имате различите базе, али с истим експонентима, базе се множе и експонент се задржава: а ^м _* б ^м = (а _* б) ^м .

Примери

- 10 ² _* 20 ² = (10 _* 20) ² = 200 ² .

- 45 ¹¹ _* 9 ¹¹ = (45 * 9) ^{11 =} 405 ¹¹ .

Други начин представљања овог закона је када се множење повећа на снагу. Дакле, експонент ће припадати сваком од термина: (а _* б) ^м = а ^м _* б ^м .

Примери

- (5 _* 8) ⁴ = 5 ⁴ _* 8 ⁴ = 40 ⁴ .

- (23 * 7) ⁶ = 23 ⁶ _* 7 ⁶ = 161 ⁶ .

Седми закон: подјела власти с различитим основама

Ако имате различите базе, али са истим експонентима, поделите основе и задржите експонент: а ^м / б ^м = (а / б) ^м .

Примери

- 30 ³ /2 ³ = (2/30) ³ = 15 ³ .

- 440 ⁴ /80 ⁴ = (440/80) ⁴ = 5.5 ⁴ .

Слично томе, када се подјела подигне на неку снагу, експонент ће припадати у сваком од израза: (а / б) ^м = а ^м / б ^м .

Примери

- (8/4) ⁸ = 8 ⁸ /4 ⁸ = 2 ⁸ .

- (25/5) ² = 25 ² /5 ² = 5 ² .

Постоји случај где је експонент негативан. Затим, да би била позитивна, вредност бројника је обрнута вредностима називника, као што следи:

- (а / б) ^-н = (б / а) ^н = б ^н / а ^н .

- (4/5) ^-9 = (5/4) ⁹ = 5 ⁹ /4 ⁴ .

Осми закон: моћ силе

Када имате снагу која се подиже на другу снагу - то су две експонента истовремено -, база се одржава и експоненти се множе: (а ^м ) ^н = а ^{м * н} .

Примери

- (8 ³ ) ² = 8 ^{(3 * 2)} = 8 ⁶ .

- (13 ⁹ ) ³ = 13 ^{(9 * 3)} = 13 ²⁷ .

- (238 ¹⁰ ) ¹² = 238 ^{(10 * 12)} = 238 ¹²⁰ .

Девети закон: фракцијски експонент

Ако снага има фракцију као експонент, то се решава трансформишући је у н-ти корен, при чему бројач остаје као експонент, а називник представља индекс корена:

Пример

Решене вежбе

Вежба 1

Израчунајте операције између моћи које имају различите основе:

2 ⁴ _* 4 ⁴ /8 ² .

Решење

Примјењујући правила експонената, базе се множе у бројачу и експонент се одржава овако:

2 ⁴ _* 4 ⁴ /8 ² = (2 _* 4) ⁴ /8 ² = 8 ⁴ /8 ²

Сада, пошто имамо исте базе, али са различитим експонентима, база се чува и експоненти одузимају:

8 ⁴ /8 ² = 8 ^(4-2) = 8 ²

Вежба 2

Израчунајте операције између моћи прикупљених на другу снагу:

(3 ² ) ³ _* (2 _* 6 ⁵ ) ^-2 _* (2 ² ) ³

Решење

Примењујући законе, морате:

(3 ² ) ³ _* (2 _* 6 ⁵ ) ^-2 _* (2 ² ) ³

= 3 ⁶ _* 2 ^-2 _* 2 ^-10 _* 2 ⁶

= 3 ⁶ _* 2 ^{(-2) + (- 10)} _* 2 ⁶

= 3 ⁶ _* 2 ^-12 _* 2 ⁶

= 3 ⁶ _* 2 ^{(-12) + (6)}

= 3 ⁶ _* 2 ⁶

= (3 _* 2) ⁶

= 6 ⁶

= 46.656

Референце

1. Апонте, Г. (1998). Основе основне математике. Пеарсон Едуцатион.
2. Цорбалан, Ф. (1997). Математика примењена у свакодневном животу.
3. Јименез, ЈР (2009). Математика 1 СЕП.
4. Мак Петерс, ВЛ (1972). Алгебра и тригонометрија.
5. Реес, ПК (1986). Реверте.