МОРГАН ЛАВС - МАТХС - 2025

Тхе Л очи Морган правила закључак који се користе у пропозиционалног логике, које утврди шта је резултат одбијања дисјункцију и стицај предлога или пропозицијски варијабли. Те законе дефинисао је математичар Аугустус Де Морган.

Морганови закони представљају веома корисно средство за доказивање ваљаности математичког резоновања. Касније су генерализовани у концепту скупова од математичара Георге Бооле-а.

Ова генерализација коју је направио Бооле потпуно је еквивалентна почетним Моргановим законима, али развијена је посебно за скупове, а не за пропозиције. Ова генерализација је позната и као Морганови закони.

Преглед логике предлога

Пре него што погледамо шта су конкретно Морганови закони и како се користе, корисно је сетити се неких основних појмова логике предлога. (За више детаља погледајте чланак о пропозицијској логици).

У области математичке (или пропозицијске) логике, закључак је закључак који се издаје из скупа премиса или хипотеза. Овај закључак, заједно са горе поменутим претпоставкама, ствара оно што је познато као математичко резоновање.

Такво образложење мора бити видљиво или негирано; то јест, нису све закључке или закључци из математичког резоновања валидни.

Заблуда

Лажни закључак направљен из одређених хипотеза за које се претпоставља да су истините познат је као заблуда. Заблуде имају особину тога што су аргументи који изгледају тачно, али математички они нису.

Пропозициона логика тачно је одговорна за развијање и пружање метода помоћу којих се, без икакве нејасноће, математичко резоновање може потврдити или оповргнути; то јест, закључити на основу валидног закључка. Ове методе су познате као правила закључивања, од којих су део Морганови закони.

Пропозиције

Суштински елементи логике предлога су пропозиције. Пропозиције су изјаве за које се може рећи да су валидне или не, али истовремено не могу бити истините или лажне. У овом питању не би требало бити никаквих нејасноћа.

Баш као што се бројеви могу комбиновати операцијама сабирања, одузимања, множења и дељења, пропозицијама се може управљати помоћу добро познатих логичких веза (или конектора): негације (¬, „не“), дисјункције (В , „Или“), повезаност (Ʌ, „и“), условна (→, „ако…, онда …“) и двокондиционалан (↔, „ако и само ако“).

Да бисмо радили опћенитије, уместо разматрања конкретних пропозиција, разматрају се пропозиционе променљиве које представљају било које пропозиције и обично се означавају малим словима п, к, р, с итд.

Пропозициона формула је комбинација пропозиционих варијабли помоћу неких логичких веза. Другим речима, то је композиција променљивих пропозиција. Обично се означавају грчким словима.

Каже се да формула приједлога логично подразумијева другу када је друга истинита сваки пут када је прва истина. Означено је са:

Када је логичка импликација између две пропозиционе формуле реципрочна - то јест, када је претходна импликација такође валидна у супротном смислу - каже се да су формуле логички еквивалентне и означене су са

Логичка еквиваленција врста је једнакости између предложених формула и омогућава да се једна замењује другом, када је то потребно.

Морганови закони

Морганови закони састоје се од две логичке еквиваленције двају приједлога облика, наиме:

Ови закони омогућавају одвајање негације дисјункције или коњукције, као негације променљивих.

Прво се може прочитати на следећи начин: негација дисјункције једнака је коњункцији негација. А други гласи овако: негација коњункције је дисјункција негација.

Другим речима, порицање дисјункције две пропозиционе променљиве је еквивалентно спајању негација обе променљиве. Исто тако, порицање повезаности две пропозиционе променљиве је еквивалентно дисјункцији негација обе променљиве.

Као што је већ споменуто, супституција ове логичке еквиваленције помаже у доказивању важних резултата, заједно са осталим постојећим правилима закључивања. Са овим можете поједноставити многе формуле приједлога тако да су корисније за рад.

Следи пример математичког доказа који користи правила закључивања, укључујући Морганове законе. Конкретно, показано је да формула:

То је еквивалентно:

Ово последње је једноставније за разумевање и развој.

Демонстрација

Вриједно је споменути да се ваљаност Морганових закона може математички показати. Један од начина је упоређивање таблица истине.

Сетови

Иста правила закључивања и појмови логике примењени на пропозиције такође се могу развити узимајући у обзир скупове. Ово је оно што је познато као Боолова алгебра, након математичара Георгеа Боола.

Да бисте разликовали случајеве, потребно је променити нотацију и пребацити у скупове, све већ виђене идеје логике предлога.

Скуп је колекција предмета. Скупови су означени великим словима А, Б, Ц, Кс,…, а елементи скупа су означени малим словима а, б, ц, к, итд. Када елемент а припада скупу Кс, он се означава са:

Када не припада Кс, нотација је:

Начин представљања сетова је постављањем њихових елемената у заграде. На пример, скуп природних бројева представљен је:

Комплети се могу такође представити без писања експлицитне листе њихових елемената. Они се могу изразити у облику {:}. Дебело црево се чита „тако да“. Лево од две тачке поставља се променљива која представља елементе скупа, а са десне стране се поставља својство или стање које они задовољавају. Ово је:

На пример, скуп целих бројева већих од -4 може се изразити као:

Или еквивалентно и скраћено:

Слично томе, следећи изрази представљају скупове непарних и парних бројева, респективно:

Спој, раскрсница и комплети комплета

Даље ћемо видети аналоге логичких конектива у случају скупова, који су део основних операција између скупова.

Спој и раскрсница

Уједињење и пресек скупова су дефинисани на следећи начин:

На пример, размотрите скупове:

Дакле, морате:

Комплемент

Комплемент комплета је формиран од елемената који не припадају наведеном скупу (истог типа који представља оригинал). Комплемент скупа А, означен је са:

На пример, унутар природних бројева, комплемент скупа парних бројева је непарних бројева и обрнуто.

Да бисте одредили комплемент скупа, универзални или главни скуп елемената који се разматрају мора бити јасан од почетка. На пример, није исто разматрати комплемент скупа над природним бројевима као преко рационалних бројева.

Следећа табела приказује однос или аналогију која постоји између операција на претходно дефинисаним скуповима и повезаности пропозиционе логике:

Морганови закони за сетове

Коначно, Морганови закони о сетовима су:

Речима: комплемент сједињења је пресек комплемената, а комплетан пресек је унија комплемената.

Математички доказ прве једнакости био би следећи:

Доказ другог је аналоган.

Референце

1. Алмагуер, Г. (2002). Математика 1. Редакција Лимуса.
2. Аилвин, ЦУ (2011). Логика, сетови и бројеви. Мерида - Венецуела: Савет за публикације, Универсидад де Лос Андес.
3. Баррантес, Х., Диаз, П., Мурилло, М., & Сото, А. (1998). Увод у теорију бројева. ЕУНЕД.
4. Цастанеда, С. (2016). Основни курс теорије бројева. Северни универзитет.
5. Цофре, А., и Тапиа, Л. (1995). Како развити математичко логичко образложење. Универзитетска издавачка кућа.
6. Гуевара, МХ (други). Теорија бројева. ЕУНЕД.
7. Сарагоса, АЦ (сф). Теорија бројева Уредничка визија Либрос.