ИНВЕРЗИВНА МАТРИЦА: ПРОРАЧУН И РЕШЕНА ВЕЖБА - МАТХС - 2025

Инверзна матрица датог матрице је матрица која помножено оригинала даје матрицу идентитета. Инверзивна матрица је корисна за решавање система линеарних једначина, отуда је важно знати како је израчунати.

Матрице су веома корисне у физици, инжењерству и математици, јер су компактно средство за решавање сложених проблема. Корисност матрица је побољшана када су инвертибилне, а позната је и њихова инверзија.

Слика 1. Приказана је генеричка 2 × 2 матрица и њена инверзна матрица. (Припремио Рицардо Перез)

У областима графичке обраде, Биг Дата, Рударство података, Машинско учење и други, ефикасни и брзи алгоритми се користе за процену инверзне матрице нкн матрица са врло великим н, редом хиљаде или милиона.

Да бисмо илустровали употребу инверзне матрице за руковање системом линеарних једначина, почет ћемо са најједноставнијим случајем од свих: 1 × 1 матрица.

Најједноставнији случај: сматра се линеарна једначина једне променљиве: 2 к = 10.

Идеја је пронаћи вредност к, али то ће бити учињено „матрицом“.

Матрица М = (2) која умножава вектор (к) је матрица 1 × 1 која резултира вектором (10):

М (к) = (10)

Инверзија матрице М је означена са М ^-1 .

Општи начин писања овог "линеарног система" је:

МКС = Б, где је Кс вектор (к) и Б је вектор (10).

Према дефиницији, инверзна матрица је она која се множи изворном матрицом резултира матрицом идентитета И:

М ^-1 М = И

У разматраном случају, матрица М ^-1 је матрица (½), односно М ^-1 = (½), јер је М ^-1 М = (½) (2) = (1) = И

Да би се пронашао непознати вектор Кс = (к), у предложеној једначини су оба члана умножена инверзном матрицом:

М ^-1 М (к) = М ^-1 (10)

(½) (2) (к) = (½) (10)

(½ 2) (к) = (½ 10)

(1) (к) = (5)

(к) = (5)

Добијена је једнакост два вектора, који су једнаки само ако су њихови одговарајући елементи једнаки, то јест к = 5.

Израчунавање инверзије матрице

Оно што мотивира израчунавање инверзне матрице је пронаћи универзални метод за решење линеарних система као што је следећи систем 2 × 2:

к - 2 и = 3

-к + и = -2

Пратећи кораке случаја 1 × 1, проучавани у претходном одељку, уписујемо систем једначина у матрични облик:

Слика 2. Линеарни систем у облику матрице.

Имајте на уму да је овај систем написан у компактним векторским нотацијама на следећи начин:

МКС = Б

где

Следећи корак је проналажење обрнутог дела М.

Метода 1: Коришћење Гауссове елиминације

Примењиваће се Гауссова метода елиминације. Оно што се састоји од обављања елементарних операција на редовима матрице, ове операције су:

- Помножите ред са нултим бројем.

- Додајте или одузмите други ред из ретка или више од другог.

- Замените редове.

Циљ је, кроз ове операције, претворити оригиналну матрицу у матрицу идентитета.

Како се то ради, у матрици М се на матрицу идентитета примењују потпуно исте операције. Када се након неколико операција на редовима, М трансформише у јединицу матрицу, тада ће она која је првотно била јединица, постати инверзна матрица М, то јест М ^-1 .

1- Поступак започињемо писањем матрице М, а поред ње јединице јединице:

2- Додајемо два реда и резултат стављамо у други ред, на тај начин добијамо нулу у првом елементу другог реда:

3- Други ред множимо са -1 да бисмо добили 0 и 1 у другом реду:

4- Први ред се множи са ½:

5- додају се други и први, а резултат се поставља у први ред:

6- Сада да завршимо поступак, први ред се множи са 2 да би се добила матрица идентитета у првом реду, а инверзна матрица оригиналне матрице М у другом:

Односно:

Системско решење

Једном када се добије инверзна матрица, систем једнаџби се решава применом инверзне матрице на оба члана компактне векторске једначине:

М ^-1 М Кс = М ^-1 Б

Кс = М ^-1 Б

Који експлицитно изгледа овако:

Тада се врши множење матрице да би се добио вектор Кс:

Метода 2: коришћење приложене матрице

У овом другом поступку инверзна матрица се израчунава из адјоинт матрице оригиналне матрице А .

Претпоставимо матрицу А коју је дао:

где _{и, ј} је елемент по реду И и колона Ј матрикса А .

Адјоинт матрице А ће се звати Адј (А) и његови елементи су:

ад _{и, ј} = (-1) ^{(и + ј)} ¦Аи, ј¦

где Аи, ј је комплементарна мања матрица добије путем елиминисања ред и и колона Ј оригиналног матрице А . Траке ¦ ¦ указују на то да се израчунава одредница, то јест ¦Аи, ј¦ је одредница минорне комплементарне матрице.

Формула обрнуте матрице

Формула за проналажење инверзне матрице полазећи од суседне матрице оригиналне матрице је следећа:

Је је инверзна матрица А , А ^-1 , је транспосе за адјоинт на А подељена са детерминанте А .

Транспонирани А ^Т матрице А је онај добијен разменом редова за ступце, то јест, први ред постаје први ступац, а други ред други ступац, и тако даље, све док н редака оригиналне матрице не буду попуњене.

Вежба решена

Нека је матрица А следећа:

Сваки елемент придружене матрице А израчунава се: Адј (А)

Из тога произлази да је придружена матрица А, Адј (А) следећа:

Тада се израчунава одредница матрице А, дет (А):

Коначно се добија инверзна матрица А:

Референце

1. Антхони Ницолаидес (1994) Детерминанте и матрице. Пасс Публицатион.
2. Авол Ассен (2013) Студија о прорачуну детерминанти од 3 × 3
3. Цастелеиро Виллалба М. (2004) Увод у линеарну алгебру. Уређивање ЕСИЦ-а.
4. Даве Киркби (2004) Матхс Цоннецт. Хеинеманн
5. Јенни Оливе (1998) Матхс: А Студент'с Сурвивал Гуиде. Цамбридге Университи Пресс.
6. Рицхард Ј. Бровн (2012) Математика од 30 секунди: 50 најтежих теорија математике. Иви Пресс Лимитед.
7. Матрица. Лап Ламберт Ацадемиц Публисхинг.