Постоји ортогонална матрица када поменута матрица помножена са њеним транспонирањем резултира матрицом идентитета. Ако је инверза матрице једнака транспонирању, тада је изворна матрица ортогонална.
Ортогоналне матрице имају карактеристику да је број редова једнак броју ступаца. Поред тога, редни вектори су јединични ортогонални вектори, а вектори транспонираних реда су такође.
Слика 1. Пример ортогоналне матрице и како трансформише геометријске објекте. (Припремио Рицардо Перез)
Када се ортогонална матрица множи са векторима векторског простора, она производи изометријску трансформацију, односно трансформацију која не мења растојања и чува углове.
Типични представник ортогоналних матрица су ротационе матрице. Трансформације ортогоналних матрица на векторском простору називају се ортогоналне трансформације.
Геометријске трансформације ротације и рефлексије тачака представљених њиховим картезијанским векторима изводе се применом ортогоналних матрица на оригиналне векторе како би се добиле координате трансформисаних вектора. Из тог разлога се ортогоналне матрице широко користе у обради рачунарске графике.
Својства
Матрица М ортогонална уколико множи њен транспосе П Т даје као резултат има јединична матрица И . Слично томе, производ транспонирања ортогоналне матрице оригиналном матрицом резултира матрицом идентитета:
ММ Т = М Т М = И
Као последица претходне изјаве, закључили смо да је пренос ортогоналне матрице једнак њеној инверзној матрици:
М Т = М -1 .
Скуп ортогоналних матрица димензије нкн формира ортогоналну групу О (н). А подскуп О (н) ортогоналних матрица са одредницом +1 формира групу јединствених специјалних матрица СУ (н). Матрице из групе СУ (н) су матрице које производе линеарне трансформације ротације, познате и као група ротација.
Демонстрација
Желимо показати да је матрица правокутна ако су, и само ако су, редни вектори (или вектори ступаца) правокутни једни другима и норме 1.
Претпоставимо да су редови ортогоналне матрице нкн н ортонормални вектори димензије н. Ако је означено са в 1 , в 2 ,…., В н до н вектора држи:
Тамо где је очигледно да је скуп векторских редова скуп ортогоналних вектора са нормом један.
Примери
Пример 1
Покажите да је матрица 2 к 2 која у свом првом реду има вектор в1 = (-1 0), а у другом реду је вектор в2 = (0 1) ортогонална матрица.
Решење: Конструисана је матрица М и израчунава се њен транспонирани М Т :
У овом примјеру, матрица М се сам транспонује, то јест, матрица и њен транспозиција су идентични. Помножите М са својим транспонирањем М Т :
Провјерено је да је ММ Т једнак матрици идентитета:
Када се матрица М множи с координатама вектора или тачке, добијају се нове координате које одговарају трансформацији коју матрица врши на вектору или тачки.
Графикон 1 показује како М претвара вектор У у У ' и како М трансформише плаву полигон у црвеном полигона. Пошто је М ортогонална, то је ортогонална трансформација која чува растојања и углове.
Пример 2
Претпоставимо да имате 2 к 2 матрицу дефинисану у резултатима датим следећим изразом:
Пронађите праве вредности а, б, ц и д тако да је матрица М ортогонална матрица.
Рјешење: По дефиницији, матрица је ортогонална ако се множи њеном транспозицијом матрица идентитета. Имајући у виду да је транспонована матрица добијена из оригинала, размењујући редове за ступце, добија се следећа једнакост:
Извођењем множења матрице имамо:
Изједначавајући елементе леве матрице са елементима матрице идентитета на десној страни, добијамо систем од четири једначине са четири непознате а, б, ц и д.
Предлажемо за а, б, ц и д следеће изразе у смислу тригонометријских односа сине и косинуса:
Овим предлогом и због темељног тригонометријског идентитета, прва и трећа једначина се аутоматски задовољавају у једнакости елемената матрице. Трећа и четврта једначина су исте и у матрици једнакости након замјене предложених вриједности изгледа овако:
што доводи до следећег решења:
На крају се добијају следећа решења за ортогоналну матрицу М:
Имајте на уму да прво од раствора има одредницу +1, па припада групи СУ (2), док друго решење има одредницу -1, па не припада овој групи.
Пример 3
С обзиром на следећу матрицу пронађите вредности а и б тако да имамо ортогоналну матрицу.
Решење: Да би дата матрица била правокутна, производ са својим транспонирањем мора бити матрица идентитета. Затим се врши матрични производ дате матрице са њеном транспонираном матрицом, дајући следећи резултат:
Затим се резултат изједначава са матрицом идентитета 3 к 3:
У другом реду, трећи ступац има (аб = 0), али не може бити нула, јер у супротном не би била испуњена једнакост елемената другог реда и другог ступца. Тада је нужно б = 0. Под замјену б за вриједност 0 имамо:
Тада се решава једначина: 2а ^ 2 = 1, чија су решења: + ½√2 и -½√2.
Узимањем позитивног решења за а, добија се следећа ортогонална матрица:
Читалац може лако да потврди да су редни вектори (и такође вектори ступаца) ортогонални и унитарни, односно ортонормални.
Пример 4
Покажите да је матрица А чији су редни вектори в1 = (0, -1 0) , в2 = (1, 0, 0) и в3 = (0 0 -1) ортогонална матрица. Поред тога, пронађите да се вектори трансформишу из канонске основе и, ј, к у векторе у1 , у2 и у3 .
Решење: Треба имати на уму да је елемент (и, ј) матрице помножен са својим транспозицијом скаларни производ вектора реда (и) са оним у колони (ј) транспонирања. Штавише, овај производ је једнак делти Кронецкера у случају да је матрица правокутна:
У нашем случају изгледа овако:
в1 • в1 = 0к0 + (-1) к (-1) + 0к0 = 1
в2 • в2 = 1 × 1 + 0к0 + 0к0 = 1
в3 • в3 = 0к0 + 0к0 + (-1) к (-1) = 1
в1 • в2 = 0к1 + (-1) к0 + 0к0 = 0
в2 • в1 = 1 × 0 + 0к (-1) + 0к0 = 0
в2 • в3 = 1 × 0 + 0к (0) + 0к (-1) = 0
в3 • в2 = 0к1 + 0к (0) + (-1) к0 = 0
в1 • в3 = 0к0 + (-1) к (0) + 0к (-1) = 0
в3 • в1 = 0к0 + 0к (-1) + (-1) к0 = 0
Уз помоћ којега се показује да је ортогонална матрица.
Даље у1 = А и = (0, 1, 0); у2 = А ј = (-1, 0, 0) и на крају у3 = А к = (0, 0, -1)
Референце
- Антхони Ницолаидес (1994) Детерминанте и матрице. Пасс Публицатион.
- Биркхофф и МацЛане. (1980). Модерн Алгебра, ед. Виценс-Вивес, Мадрид.
- Цастелеиро Виллалба М. (2004) Увод у линеарну алгебру. Уређивање ЕСИЦ-а.
- Даве Киркби (2004) Матхс Цоннецт. Хеинеманн
- Јенни Оливе (1998) Матхс: А Студент'с Сурвивал Гуиде. Цамбридге Университи Пресс.
- Рицхард Ј. Бровн (2012) Математика од 30 секунди: 50 најтежих теорија математике. Иви Пресс Лимитед.
- Википедиа. Ортогонална матрица. Опоравак од: ес.википедиа.цом
- Википедиа. Ортогонална матрица. Опоравак од: ен.википедиа.цом