ЦЕЛИ БРОЈЕВИ: СВОЈСТВА, ПРИМЕРИ, ВЕЖБЕ - МАТХС - 2025

У цели бројеви су скуп корисних бројева рачуна објецтс комплетне оних који имају и немају. Такође, пребројавамо оне који су са једне и са друге стране одређеног референтног места.

Такође са целим бројевима можете извршити одузимање или разлику између броја и другог већег од њега, на пример резултат се измири као дуг. Разлика између зараде и дугова врши се знаковима + и -.

Слика 1. Редак бројева за целе бројеве. Извор: Викимедиа Цоммонс. Леомг / ЦЦ БИ-СА (хттпс://цреативецоммонс.орг/лиценсес/би-са/3.0).

Дакле, скуп целих бројева укључује следеће:

-Поситивни цели бројеви којима се пише знак + или једноставно без знака, јер се такође подразумева да су позитивни. На пример: +1, +2, + 3… и тако даље.

-0, у којем је знак небитан, јер нема везе да га додате да бисте га одузели од неке количине. Али, 0 је врло важан, јер је референца за целе бројеве: са једне стране су позитиви, а са друге негативи, као што видимо на слици 1.

-Негативни цели бројеви, који увек морају бити написани испред знака - јер се са њима разликују износи као што су дугови и сви они који се налазе на другој страни референце. Примери негативних целих бројева су: -1, -2, -3… и након тога.

Како су представљени цели бројеви?

На почетку представљамо читаве бројеве са заданом нотацијом: З = {… -4, -3, -2, -1, 0, +1, +2, +3, + 4…}, односно листе и организовано. Али врло корисна репрезентација је она која користи бројевна линија. За то је потребно цртање линије која је углавном хоризонтална, на којој је 0 обележено и подељено у идентичне одељке:

Слика 2. Приказ целих бројева на бројачкој линији. Од 0 десно су позитивни цели бројеви, а од 0 лево негативни. Извор: Ф. Запата.

Негативи иду с лијеве стране 0, а позитивни с десне. Стрелице на бројчаној линији симболизирају да бројеви иду у бесконачност. С обзиром на било који цели број, увек је могуће пронаћи оно веће или друго које је мање.

Апсолутна вредност целог броја

Апсолутна вредност целог броја је удаљеност између броја и 0. А растојања су увек позитивна. Према томе, апсолутна вредност негативног целог броја је број без његовог минус знака.

На пример, апсолутна вредност -5 је 5. Апсолутна вредност је маркирана на следећи начин:

--5- = 5

Да бисте га визуелно приказали, само пребројите размаке у бројчаној линији, од -5 до 0. Док је апсолутна вредност позитивног целог броја исти број, на пример - + 3- = 3, пошто је његова удаљеност од 0 једнака са 3 места:

Слика 3. Апсолутна вредност целог броја је увек позитивна количина. Извор: Ф. Запата.

Својства

-Скуп целих бројева означен је са З и укључује скуп природних бројева Н, а њихови елементи су бесконачни.

-Цитав број и онај који следи (или онај који му претходи) увек се разликују у јединству. На примјер, након 5 долази 6, при чему је 1 разлика између њих.

-Сваки цели број има претходника и наследника.

-Сваки позитивни цели број је већи од 0.

-Негативни цијели број је увијек мањи од 0 и било који позитивни број. Узмимо за пример број -100, то је мање од 2, 10 и мање од 50. Али, то је и мање од -10, -20 и -99 и веће од -200.

-Но 0 нема знакова разматрања, јер није ни негативан ни позитиван.

-У целим бројевима можете изводити исте операције као и са природним бројевима, а то су: сабирање, одузимање, множење, оснаживање и још много тога.

-Цитави број насупрот одређеном целом броју к, је –к, а збир целог броја са његовом супротношћу је 0:

к + (-к) = 0.

Операције са целим бројевима

- Зброј

-Ако бројеви који се додају имају исти знак, додају се њихове апсолутне вредности и резултат се ставља са знаком који имају додаци. Ево неколико примера:

а) (+8) + (+9) = 8 + 9 = +17

б) (-12) + (- 10) = - (12 + 10) = -22

-Ако су бројеви различитог знака, одузимају се апсолутне вредности (највеће од најниже) и резултат се поставља знаком броја са највећом апсолутном вредностом, како следи:

а) (-8) + (21) = 21 - 8 = 13

б) (-9) + (+4) = - (9-4) = -5

Својства сума целих бројева

-Сума је комутативна, па редослед додатака не мења суму. Нека су а и б два цела броја, тачно је да је а + б = б + а

-0 је неутрални елемент зброја целих бројева: а + 0 = а

-Свака цела цела додата својој супротности је 0. Супротно од + а је –а, и обратно, супротност –а је + а. Стога: (+ а) + (-а) = 0.

Слика 2. Правило знакова за сабирање целих бројева. Извор: Викимедиа Цоммонс.

- одузимање

Да одузмемо читаве бројеве, треба се водити овим правилом: одузимање је еквивалентно сабирању броја са његовом супротношћу. Нека су а и б два броја, затим:

а - б = а + (-б)

На пример, претпоставимо да треба да урадите следећу операцију: (-3) - (+7), а затим:

(-3) - (+7) = (-3) + (-7) = - (3 + 7) = -10

- Множење

Умножавање целих бројева следи одређена правила за знакове:

-Производ од два броја са истим знаком је увек позитиван.

-Када се множе два броја са различитим знаковима, резултат је увек негативан.

-Вредност производа једнака је умножавању одговарајућих апсолутних вредности.

Одмах неколико примера који разјашњавају горе наведено:

(-5) к (+8) = - 5 к 8 = -40

(-10) к (-12) = 10 к 12 = 120

(+4) к (+32) = 4 к 32 = 128

Својства множења целих бројева

- Множење је комутативно. Нека су а и б два цела броја, тачно је да је: аб = ба, који се такође може изразити као:

-Неутралан елемент множења је 1. Нека је цео број, дакле а.1 = 1

-Сви цели бројеви помножени са 0 једнаки су 0: а.0 = 0

Дистрибутивна имовина

Множење је у складу са својством дистрибуције у односу на сабирање. Ако су а, б и ц цели бројеви, тада:

а. (б + ц) = аб + ац

Ево примера како да примените ову особину:

(-3). = (-3). (- 4) + (- 3) .11 = 12 - 33 = 12 + (-33) = -21

Оснаживање

-Ако је база позитивна, резултат операције је увек позитиван.

-Када је основа негативна, ако је експонент једнак, резултат је позитиван. а ако је експонент непаран, резултат је негативан.

- Дивизија

Подјела се примјењују на иста правила као и на множење:

-Када поделите два цела броја истог знака, резултат је увек позитиван.

-Када се поделе два цела броја са различитим знаковима, квоцијент је негативан.

На пример:

(-12) ÷ (-4) = 3

33 ÷ (-3) = -11

Важно : подела није комутативна, другим речима а ÷ б = б ÷ а као и увек, дељење са 0 није дозвољено.

- Оснаживање

Нека је цео број и желимо да га повисимо на експонент н, тада морамо помножити а са н пута, као што је приказано у наставку:

а ^н = аааа… .. .а

Такође узмите у обзир следеће, узимајући у обзир да је н природни број:

-Ако је негативан а н је парно, резултат је позитиван.

-Када је негативан а н је непаран, то резултира негативним бројем.

-Ако је а позитивно а н је парно или непарно, позитиван цели број увек резултира.

-Сви цели бројеви подигнути на 0 једнаки су 1: а ⁰ = 1

-Сваки број подигнут на 1 једнак је броју: а ¹ = а

Рецимо да желимо да нађемо (–3) ⁴ , да то учинимо множимо (-3) четири пута по себи, овако: (–3). (- 3). (- 3). (- 3) = 81.

Други пример, такође са негативним целим бројем је:

(-2) ³ = (-2). (- 2). (- 2) = -8

Производ моћи једнаких основа

Претпоставимо две моћи једнаке базе, ако их множимо, добијамо другу снагу са истом базом, чија је експонента сума даних експонената:

а ^н а ^м = а ^{н + м}

Квоцијент једнаких основних сила

Када поделимо снаге једнаке базе, резултат је снага са истом базом, чија је експонента одузимање наведених експонената:

а ^н ÷ а ^м = а ^{н - м}

Ево два примера која појашњавају ове тачке:

(-2) ^3. (- 2) ⁵ = (-2) ^{3 + 5} = (-2) ⁸

5 ⁶ ÷ 5 ⁴ = 5 ^6-4 = 5 ²

Примери

Погледајмо једноставне примере примене ових правила, имајући на уму да се у случају позитивних целих бројева знак не може користити:

а) (+6) + (+14) = 6 + 14 = 20

б) (-8) + (- 10) = - (8 + 10) = -18

ц) (-16) + (+7) = - 16 + 7 = -9

д) (+4) + (-8) + (-25) = + (-25) = -25 = -4 -25 = -29

е) (-8) - (+15) = (-8) + (-15) = -8 - 15 = -23

ф) (+3) к (+9) = 3 к 9 = 27

г) (- 4) к (-11) = 4 к 11 = 44

х) (+5) к (-12) = - 5 к 12 = -60

и) (-2) ³ = (-2) к (-2) к (-2) = - 8

Решене вежбе

- Вежба 1

Мрав се креће дуж бројчане црте на слици 1. Полазећи од тачке к = +3, прави следеће покрете:

-Помера 7 јединица удесно

-Сада вратите 5 јединица лево

-Покрените још 3 јединице лево.

-Он се враћа и помера 4 јединице удесно.

У ком тренутку је мрав на крају турнеје?

Решење

Назовимо помаке Д. Када су с десне стране добили су позитиван знак, а када с лијеве стране негативни знак. На овај начин, почевши од к = +3 имамо:

-Први Д: к ₁ = +3 + 7 = +10

-Секунда Д: к ₂ = +10 + (-5) = +5

-Треће Д: к ₃ = +5 + (-3) = +2

-Роом Д: к ₄ = +2 + 4 = +6

Када мрав заврши ход, налази се у положају к = +6. То јест, то је 6 јединица десно од броја на линији броја.

- Вежба 2

Решите следећу операцију:

{36 +}. {- + 2 (-8 + 6)]}

Решење

Ова операција садржи знакове груписања, који су заграде, углати заграде и заграде. Приликом решавања прво морате водити рачуна о заградама, затим заградама и на крају заградама. Другим речима, морате радити изнутра према унутра.

У овој вежби тачка представља множење, али ако нема тачке између броја и заграде или другог симбола, такође се подразумева да је производ.

Испод резолуције корак по корак, боје служе као водич за праћење резултата смањења заграда, који су најдубљи симболи групирања:

{36 +}. {- + 2 (-8 + 6)]} =

= {36 +}. {- + 2 (-2)]} =

= {36 +}. {- 4]} =

= {52}. {1- 4]} = {52}. {- 3} = -156

- Вежба 3

Решите једначину првог степена:

12 + к = 30 + 3к

Решење

Појмови су груписани са непознатим лево од једнакости, а нумерички термини десно:

к - 3к = 30 - 12

- 2к = 18

к = 18 / (-2)

к = - 9

Референце

1. Царена, М. 2019. Приуниверзитетски приручник за математику. Национални универзитет Литорал.
2. Фигуера, Ј. 2000. Математика 7. разреда. ЦО-БО издања.
3. Хоффманн, Ј. 2005. Избор тема из математике. Монфорт Публицатионс.
4. Јименез, Р. 2008. Алгебра. Прентице Халл.
5. Цели бројеви. Опоравак од: Циманет.уоц.еду.