ИРАЦИОНАЛНИ БРОЈЕВИ: ИСТОРИЈА, СВОЈСТВА, КЛАСИФИКАЦИЈА, ПРИМЕРИ - МАТХС - 2025

У ирационалних Бројеви су они чија је експресија има бескрајне децималне цифре без понављања обрасца, дакле, не могу да се добити са однос између било која два цела броја.

Међу најпознатијим ирационалним бројевима су:

Слика 1. Од врха до дна следећи ирационални бројеви: пи, Еулеров број, златни однос и два квадратна корена. Извор: Пикабаи.

Међу њима је без сумње π (пи) најпознатији, али постоји и много више. Сви они припадају скупу реалних бројева, што је бројчани скуп који групише рационалне и ирационалне бројеве.

Елипса на слици 1 указује да се децимали настављају у недоглед, а догађа се да простор обичних калкулатора омогућава приказивање само неколико.

Ако пажљиво погледамо, кад год направимо квоцијент између два цела броја, добит ћемо децимални број с ограниченим бројкама или ако не, с бесконачним бројкама у којима се понавља једно или више. Па, то се не догађа с ирационалним бројевима.

Историја ирационалних бројева

Велики древни математичар Питагора, рођен 582. године пре нове ере у Самосу у Грчкој, основао је питагорејску школу мишљења и открио чувену теорему која носи његово име. Имамо га овде доле на левој страни (Бабилонци су то можда знали и давно раније).

Слика 2. Питагорејска теорема примењена на троугао са страницама једнаким 1. Извор: Пикабаи / Викимедиа Цоммонс.

Па, када је Питагорас (или вероватно његов ученик) применио теорему на прави троугао са страницама једнаким 1, пронашао је ирационални број √2.

Учинио је то овако:

ц = √1 ² + 1 ² = √1 + 1 = √2

И одмах је схватио да овај нови број не долази из квоцијента између два друга природна броја, која су била позната у то време.

Стога га је назвао нерационалним, а откриће је изазвало велику забринутост и запрепаштење код питагорејаца.

Својства ирационалних бројева

-У скуп свих ирационалних бројева је означен словом И, а понекад и као К * или К ^{, Ц} . Уједињење између ирационалних бројева И или К * и рационалних бројева К, рађа скуп реалних бројева Р.

-На ирационалним бројевима могу се изводити познате аритметичке операције: сабирање, одузимање, множење, дељење, оснаживање и још много тога.

-Одељење са 0 није дефинисано ни између ирационалних бројева.

- Зброј и продукт између ирационалних бројева није нужно још један ирационални број. На пример:

√2 к √8 = √16 = 4

А 4 није ирационалан број.

- Ипак, зброј рационалног броја плус ирационални број даје ирационалан резултат. На овај начин:

1 + √2 = 2.41421356237…

- Производ рационалног броја који се разликује од 0 ирационалним бројем је такође ирационалан. Погледајмо овај пример:

2 к √2 = 2.828427125…

- Инверзија ирационалног резултира другим нерационалним бројем. Покушајмо неколико:

1 / √2 = 0.707106781…

1 / √3 = 0,577350269…

Ови бројеви су занимљиви јер су уједно вредности неких тригонометријских односа познатих углова. Већина тригонометријских омјера су ирационални бројеви, али постоје изузеци, попут син 30º = 0,5 = ½, што је рационално.

- У збиру се испуњавају комутативна и асоцијативна својства. Ако су а и б два ирационална броја, то значи да:

а + б = б + а.

А ако је ц још један ирационални број, онда:

(а + б) + ц = а + (б + ц).

- Дистрибутивно својство множења у односу на сабирање је још једно добро познато својство које важи и за ирационалне бројеве. У овом случају:

а. (б + ц) = аб + ац

-Ирационално а има супротно: -а. Када се саберу резултат је 0:

а + (- а) = 0

- Између два различита рационалног стања постоји бар један ирационални број.

Локација ирационалног броја на стварној линији

Стварна линија је водоравна линија на којој се налазе стварни бројеви, од којих су ирационални бројеви важан део.

Да бисмо пронашли ирационални број на реалној линији, у геометријском облику, можемо да користимо питагорејску теорему, владар и компас.

Као пример пронаћи ћемо √5 на реалној линији, за коју цртамо прави троугао са страницама к = 2 и и = 1, као што је приказано на слици:

Слика 3. Метода проналаска ирационалног броја на реалној линији. Извор: Ф. Запата.

По питагорејском теорему хипотенуза таквог троугла је:

ц = √2 ² + 1 ² = √4 + 1 = √5

Сада је компас постављен са тачком на 0, где је такође једна од врхова правог троугла. Тачка оловке за компас треба да буде у врху А.

Нацрт је лук обима који се сече на праву линију. Пошто је растојање између средишта обима и било које тачке на њему полумјер, који је једнак √5, тачка пресека је такође удаљена √5 од центра.

Из графикона се види да је √5 између 2 и 2,5. Калкулатор нам даје приближну вредност:

=5 = 2,236068

И тако, изградњом троугла са одговарајућим странама могу се лоцирати друге ирационалне, попут √7 и друге.

Класификација ирационалних бројева

Ирационални бројеви су класификовани у две групе:

-Алгебраиц

-Трансцендентално или трансцендентално

Алгебраиц бројеви

Алгебрични бројеви, који могу бити, а не морају бити ирационални, су решења полиномних једначина чији је општи облик:

а _н к ^н + а _н-1 к ^н-1 + а _н-2 к ^н-2 +…. + а ₁ к + а _о = 0

Пример полиномне једначине је квадратна једначина као што је ова:

к ³ - 2к = 0

Лако је показати да је ирационални број √2 једно од решења ове једначине.

Трансцендентни бројеви

С друге стране, трансцендентни бројеви, иако су ирационални, никада не настају као решење полиномне једнаџбе.

Трансцендентни бројеви који се најчешће налазе у примењеној математици су π, због повезаности са ободом и бројем е, или Еулеровог броја, који је основа природних логаритми.

Вежбајте

Сиви квадрат је постављен на црни квадрат у положају наведеном на слици. Познато је да површина црног квадрата износи 64 цм ² . Колике су дужине оба квадрата?

Слика 4. Два квадрата од којих желимо да пронађемо дужину страница. Извор: Ф. Запата.

Одговорити

Површина квадрата са страном Л је:

А = Л ²

Пошто је црни квадрат површине 64 цм ² , његова страна мора бити 8 цм.

Ово мерење је исто као дијагонала сивог квадрата. Примењујући питагорејску теорему на ову дијагоналу, и сећајући се да стране квадрата мере исте, имаћемо:

8 ² = Л _г ² + Л _г ²

Где је Л _г страна сивог квадрата.

Стога: 2Л _г ² = 8 ²

Примјена квадратног коријена на обје стране једнакости:

Л _г = (8 / √2) цм

Референце

1. Царена, М. 2019. Приуниверзитетски приручник за математику. Национални универзитет Литорал.
2. Фигуера, Ј. 2000. Математика 9. Степен. ЦО-БО издања.
3. Јименез, Р. 2008. Алгебра. Прентице Халл.
4. Образовни портал. Ирационални бројеви и њихова својства. Опоравак од: порталедуцативо.нет.
5. Википедиа. Нерационални бројеви. Опоравак од: ес.википедиа.орг.