СТВАРНИ БРОЈЕВИ: ИСТОРИЈА, ПРИМЕРИ, СВОЈСТВА, ОПЕРАЦИЈЕ - МАТХС - 2025

У реални бројеви чине бројчану сет који садржи природне бројеве, целе бројеве, рационално и ирационално. Означени су симболом ℝ или једноставно Р, а њихов домет у науци, инжењерству и економији је такав да када се говори о „броју“ готово је здраво за готово да је то прави број.

Стварни бројеви коришћени су од давнина, мада им то име није дато. Од тренутка када је Питагорас развио своју чувену теорему, појавили су се бројеви који се нису могли добити као квоцијенти природних бројева или целих бројева.

Слика 1. Веннов дијаграм који показује како скуп реалних бројева садржи остале скупове бројева. Извор> Викимедиа Цоммонс.

Примери бројева су √2, √3 и π. Ови бројеви се називају ирационални, за разлику од рационалних бројева, који долазе из квоцијената целих бројева. Стога је био потребан нумерички скуп који обухвата обје класе бројева.

Израз "стварни број" креирао је велики математичар Рене Десцартес (1596-1650) како би разликовао две врсте корена које могу настати решавањем полиномне једначине.

Неки од ових коријена могу бити чак и коријени негативних бројева, Десцартес их је назвао „имагинарним бројевима“, а они који то нису, били су стварни бројеви.

Деноминација се опстала током времена, стварајући два велика нумеричка скупа: стварне бројеве и сложене бројеве, већи скуп који укључује стварне бројеве, имагинарне бројеве и оне који су део стварни, а делом имагинарни.

Еволуција реалних бројева наставила се током 1872. године, математичар Рицхард Дедекинд (1831-1936) формално је дефинисао скуп реалних бројева кроз такозване Дедекинд цут-ове. Синтеза његовог дела објављена је у чланку који је исте године угледао светлост.

Примери стварних бројева

У табели испод приказани су примери стварних бројева. Овај скуп има подскупове природних бројева, целих бројева, рационалних и ирационалних. Било који број ових скупова је сам по себи прави број.

Стога су 0, негативи, позитиви, фракције и децимални бројеви стварни бројеви.

Слика 2. Примери реалних бројева су природни, цели, рационални, ирационални и трансцендентни. Извор: Ф. Запата.

Приказ реалних бројева на реалној линији

Реални бројеви могу бити представљени на стварној линији Р , као што је приказано на слици. Није неопходно да је 0 увек присутан, али је згодно знати да су негативни резултати лево, а позитивни десно. Због тога је то одлична референца.

На реалној линији узима се скала у којој су пронађени цели бројеви:… 3, -2, -1, 1, 2, 3…. Стрелица означава да се линија протеже до бесконачности. Али то није све, у било којем разматраном интервалу такође ћемо увек наћи бесконачне реалне бројеве.

Стварни бројеви су представљени редом. За почетак, постоји редослед целих бројева, у којима су позитивне вредности увек веће од 0, док су негативне мање.

Ова наредба се чува у стварним бројевима. Следеће неједнакости су приказане као пример:

а) -1/2 <√2

б) е <π

ц) π> -1/2

Слика 3.- Права линија. Извор: Викимедиа Цоммонс.

Својства реалних бројева

-Разни бројеви укључују природне бројеве, целе бројеве, рационалне бројеве и нерационалне бројеве.

-Комутативно својство сабирања је испуњено: редослед додатака не мења зброј. Ако су а и б два реална броја, увек је тачно да:

а + б = б + а

-0 је неутрални елемент суме: а + 0 = а

-За суму је асоцијативна имовина испуњена. Ако су а, б и ц стварни бројеви: (а + б) + ц = а + (б + ц).

-Супротност стварног броја је -а.

-Одузимање је дефинисано као збир супротно: а - б = а + (-б).

-Комутативно својство производа је испуњено: редослед фактора не мења производ: аб = ба

-У производу се примењује и асоцијативно својство: (аб) .ц = а. (Бц)

-1 је неутрални елемент множења: а.1 = а

- Дистрибутивно својство множења важи у односу на сабирање: а. (б + ц) = аб + ац

-Дељење са 0 није дефинисано.

-Сваки стварни број а, осим 0, има мултипликативни инверзни ^-1 такав да је аа ^-1 = 1.

-Ако је реални број: а ⁰ = 1 и а ¹ = а.

-Апсолутна вредност или модул стварног броја је удаљеност између наведеног броја и 0.

Операције са стварним бројевима

Са стварним бројевима можете обављати операције које се раде са осталим скуповима бројева, укључујући сабирање, одузимање, множење, дељење, оснаживање, радикацију, логаритме и још много тога.

Као и увек, дељење са 0 није дефинисано, нити су негативни логаритми бројева нити 0, мада је тачно да је лог 1 = 0 и да су логаритми бројева између 0 и 1 негативни.

Апликације

Примене стварних бројева у свим врстама ситуација су изузетно разнолике. Стварни бројеви појављују се као одговори на многе проблеме тачне науке, рачунарске науке, инжењерства, економије и друштвених наука.

Све врсте величине и величине, попут удаљености, времена, силе, интензитета звука, новца и многих других, имају свој израз у стварном броју.

Пренос телефонских сигнала, слика и звук видео записа, температура клима уређаја, грејача или фрижидера може се дигитално контролисати, што значи претварање физичких величина у нумеричке секвенце.

Исто се дешава и приликом обављања банкарске трансакције путем Интернета или консултација са тренутним порукама. Прави бројеви су свуда.

Вежба решена

Вежбама ћемо видети како ови бројеви делују у уобичајеним ситуацијама на које свакодневно наилазимо.

Вежба 1

Пошта прихвата само пакете за које дужина плус мерење опсега не прелази 108 инча. Стога, да би се приказани пакет прихватио, мора бити испуњено да:

Л + 2 (к + и) ≤ 108

а) Да ли ће пакет који је широк 6 инча, висок 8 и дужине 5 стопа успети?

б) Шта је са оним који мери 2 к 2 к 4 фт ³ ?

ц) Која је највећа прихватљива висина пакета чија је база квадратна и мери 9 к 9 инча ² ?

Одговор на

Л = 5 стопа = 60 инча

к = 6 инча

и = 8 инча

Операција за решавање је:

Л + 2 (к + и) = 60 + 2 (6 + 8) инча = 60 + 2 к 14 инча = 60 + 28 инча = 88 инча

Пакет је прихваћен.

Одговор б

Димензије овог пакета су мање од пакета а), па их обоје чине кроз.

Одговор ц

У овом пакету:

к = Л = 9 инча

Мора се приметити да:

9+ 2 (9 + и) ≤ 108

27 + 2и ≤ 108

2и ≤ 81

и ≤ 40,5 инча

Референце

1. Царена, М. 2019. Приуниверзитетски приручник за математику. Национални универзитет Литорал.
2. Диего, А. Реални бројеви и њихова својства. Опоравак од: математица.унс.еду.ар.
3. Фигуера, Ј. 2000. Математика 9. Степен. ЦО-БО издања.
4. Јименез, Р. 2008. Алгебра. Прентице Халл.
5. Стеварт, Ј. 2006. Прекалцулус: Математика за рачун. 5. Едитион. Ценгаге Леарнинг.