ТРАНСЦЕНДЕНТНИ БРОЈЕВИ: ШТА СУ, ФОРМУЛЕ, ПРИМЕРИ, ВЕЖБЕ - МАТХС - 2025

У Бројеви трансценденталне су они који не могу да се добије као на резултат полинома једначине. Супротност трансцендентном броју је алгебрични број, који су решења полиномне једначине типа:

а _н к ^н + а _н-1 к ^н-1 + …… + а ₂ к ² + а ₁ к + а ₀ = 0

Тамо где су коефицијенти а _н , а _н-1 ,… .. а ₂ , а ₁ , ₀ су рационални бројеви, звани коефицијенти полинома. Ако је број к решење претходне једначине, тада тај број није трансцендентан.

Слика 1. Два броја од великог значаја у науци су трансцендентни бројеви. Извор: публицдомаинпицтурес.нет.

Анализираћемо неколико бројева и видећемо да ли су трансцендентни или не:

а) 3 није трансцендентна јер је решење к - 3 = 0.

б) -2 не може бити трансцендентна јер је решење к + 2 = 0.

ц) ⅓ је решење 3к - 1 = 0

д) Решење једначине к ² - 2к + 1 = 0 је √2 -1, тако да тај број по дефиницији није трансцендентан.

е) Нити је √2, јер је резултат једначине к ² - 2 = 0. Помоћу квадрата √2 настаје 2, која је одузета од 2 једнака нули. Дакле, √2 је ирационалан број, али није трансцендентан.

Шта су трансцендентни бројеви?

Проблем је што не постоји опште правило за њихово добијање (рећи ћемо касније), али неки од најпознатијих су број пи и Непер-ов број, означени са: π и е.

Број π

Број π се природно појављује посматрајући да математички квоцијент између обима П круга и његовог пречника Д, без обзира да ли је мали или велики круг, увек даје исти број, назван пи:

π = П / Д ≈ 3.14159 ……

То значи да ако је пречник обима узет као мерна јединица, за све оне велике или мале, обод ће увек бити П = 3,14… = π, као што се може видети на анимацији на слици 2.

Слика 2. Дужина обода круга је пи дужина пречника, с тим да је пи приближно 3,1416.

Да би се утврдило више децимала, потребно је измерити П и Д са већом прецизношћу, а затим израчунати квоцијент, што је математички урађено. Закључак је да децимале квоцијента немају краја и никада се не понављају, па је број π, осим што је трансцендентан, такође ирационалан.

Ирационални број је број који се не може изразити дељењем два цела броја.

Познато је да је сваки трансцендентни број ирационалан, али није тачно да су сви ирационални бројеви трансцендентни. На пример, √2 је ирационалан, али није трансцендентан.

Слика 3. Трансцендентни бројеви су ирационални, али обратно није тачно.

Број е

Трансцендентни број е основа је природних логаритама и његова децимална апроксимација је:

и ≈ 2.718281828459045235360….

Ако бисте хтели тачно написати број е, било би потребно написати бесконачне децимале, јер је сваки трансцендентни број нерационалан, као што је речено раније.

Првих десет цифара е лако је упамтити:

2,7 1828 1828 и иако се чини да следи понављајући образац, то се не постиже децималама реда већег од девет.

Формалнија дефиниција е је следећа:

То значи да се тачна вредност е добија извођењем операције назначене у овој формули, када је природни број н тежи бесконачности.

Ово објашњава зашто можемо добити само апроксимације е, будући да без обзира на то колико је велики број н, увек се може наћи већи н.

Потражимо неке апроксимације сами:

-Када је н = 100 тада (1 + 1/100) ¹⁰⁰ = 2,70481, што се у првој децимали тешко поклапа са „истинском“ вредност е.

-Ако одаберете н = 10 000, имате (1 + 1 / 10,000) ^10,000 = 2,71815, што се поклапа са „тачном“ вредност е у прва три децимална места.

Овај процес би требало да се прати бесконачно да би се добила „права“ вредност е. Мислим да немамо времена за то, али покушајмо још једно:

Користимо н = 100 000:

(1 + 1 / 100,000) ^100,000 = 2,7182682372

То има само четири децимална места која одговарају вредности која се сматра тачном.

Важно је схватити да што је већа вредност н изабрана за израчунавање е _н , она ће бити ближа правој вредности. Али ту праву вредност имаће само када је н бесконачан.

Слика 4. Графички је приказано колико је већа вредност н, што је ближе е, али да би достигла тачну вредност н мора бити бесконачно.

Остали важни бројеви

Поред ових познатих бројева, постоје и други трансцендентни бројеви, на пример:

- 2 ^√2

-Кампер Цхамперновне у бази 10:

Ц_10 = 0,112456789101112131415161718192021….

-Кампер Цхамперновне у бази 2:

Ц_2 = 0,1101110010110111….

-Гама број γ или Еулер-Масцхерони константа:

γ ≈ 0,577 215 664 901 532 860 606

Који се добија следећим прорачуном:

γ ≈ 1 + ½ + ⅓ + ¼ +… + 1 / н - лн (н)

Јер, када је н веома велик. Да би сте добили тачну вредност Гама броја, требало би да урадите израчун са н бесконачношћу. Нешто слично ономе што смо горе урадили.

А много је више трансцендентних бројева. Велики математичар Георг Цантор, рођен у Русији и живео између 1845. и 1918., показао је да је скуп трансцендентних бројева много већи од скупа алгебричних бројева.

Формуле у којима се појављује трансцендентни број π

Периметар обима

П = π Д = 2 π Р, где је П обод, Д пречник, а Р радијус обима. Треба имати на уму да:

- Пречник обима је најдужи сегмент који спаја две тачке исте и који увек пролази кроз његов центар,

-Р радијус је половине пречника и представља сегмент који иде од центра ка ивици.

Подручје круга

А = π Р ² = ¼ π Д ²

Површина сфере

С = 4 π Р2 ^.

Да, иако се можда не чини тако, површина сфере једнака је површини четири круга истог радијуса као и сфера.

Количина сфере

В = 4/3 π Р ³

Вежбе

- Вежба 1

Пицерија „ЕКСОТИЦА“ продаје пиззе три пречника: мале 30 цм, средње 37 цм и велике 45 цм. Дечак је врло гладан и схватио је да две мале пице коштају исто као и једна велика. Шта ће му бити боље, ако купи две мале пиззе или једну велику?

Слика 5. - Површина пице пропорционална је квадратури радијуса, пи је константа пропорционалности. Извор: Пикабаи.

Решење

Што је већа површина, већа је количина пице, па ће се зато израчунати површина велике пице и упоредити са две мале пице:

Површина велике пице = ¼ π Д ² = ¼ 3,1416⋅45 ² = 1590,44 цм ²

Површина мале пиззе = ¼ π д ² = ⋅ .143.1416⋅30 ² = 706.86 цм ²

Због тога ће две мале пиззе имати површину

2 к 706,86 = 1413,72 цм ² .

Јасно је: купит ћете већу количину пице коју купујете једну велику од две мале.

- Вежба 2

Пицерија „ЕКСОТИЦА“ такође продаје хемисферну пиззу радијуса од 30 цм по истој цени као и правоугаону димензију 30 к 40 цм са сваке стране. Које бисте одабрали?

Слика 6. - Површина полутке је двоструко већа од кружне површине базе. Извор: Ф. Запата.

Решење

Као што је споменуто у претходном одељку, површина кугле је четири пута већа од круга истог пречника, па ће полутка пречника 30 цм имати:

Хемисферна пица 30 цм: 1413,72 цм ² (двоструко кружница истог пречника)

Правокутна пица: (30 цм) к (40 цм) = 1200 цм ² .

Хемијска пица има већу површину.

Референце

1. Фернандез Ј. Број е. Поријекло и знатижеље. Опоравак од: соиматематицас.цом
2. Уживајте у математици. Еулеров број. Опоравак од: ењоласматематицас.цом.
3. Фигуера, Ј. 2000. Математика 1. Разнолико. ЦО-БО издања.
4. Гарциа, М. Број е у елементарном рачуну. Опоравак од: математица.циенс.уцв.ве.
5. Википедиа. ПИ број. Опоравак од: википедиа.цом
6. Википедиа. Трансцендентни бројеви. Опоравак од: википедиа.цом