ОРТОХЕДРОН: ФОРМУЛЕ, ПОВРШИНА, ЗАПРЕМИНА, ДИЈАГОНАЛА, ПРИМЕРИ - МАТХС - 2025

Ортхохедрон је запремински или тродимензионална геометријска фигура која је окарактерисан тиме што шест правоугаоних лица, тако да су супротне лица налазе у паралелним равнима и представљају идентичне или подударне правоугаоника. Са друге стране, лица у близини одређеног лица налазе се у равнинама окомитим на почетно лице.

Ортоедар се такође може сматрати ортогоналном призмом са правоугаоним постољем, у којој су двострани углови формирани равнинама двеју лица поред заједничке ивице која мери 90 °. Двострани угао између два лица мери се на пресеку лица са заједничком правокутном равнином.

Слика 1. Ортохедрон. Извор: Ф. Запата са Геогебром.

Слично томе, ортоедар је правоугаони паралелепипед, јер је тако паралелепипед дефинисан као волуметријска фигура шест лица, која су паралелна два по два.

У било којем паралелепипеду лица су паралелограма, али у правоугаоном паралелепипеду лица морају бити правоугаона.

Делови ортоедра

Делови полиедра, попут ортоедра, су:

-Аристас

-Вертицес

-Лица

Угао између две ивице једног лица ортоедра коинцидира с двостраним углом који су формирана његова друга два лица уз сваку од ивица, формирајући прави угао. Следећа слика појашњава сваки концепт:

Слика 2. Делови ортоедра. Извор: Ф. Запата са Геогебром.

-Укупно ортоедар има 6 лица, 12 ивица и 8 врхова.

-Угао између било које две ивице је прави угао.

-Дијалементарни угао између било која два лица је такође тачан.

-На сваком лицу постоје четири врхова и на свакој врхови су три међусобно ортогонална лица.

Формуле ортоедра

Подручје

Површина или површина ортоедра је збир површина његових лица.

Ако три ивице које се сусрећу на једном врху имају мере а, б и ц, као што је приказано на слици 3, тада предња страна има површину ц⋅б, а доња страна такође има ц⋅б.

Затим два бочна лица имају површину а⋅б. И на крају, лица пода и плафона имају по једну површину.

Слика 3. Ортоедар димензија а, б, ц. Унутрашња дијагонала Д и спољна дијагонала д.

Додавање подручја свих лица даје:

Узимање заједничког фактора и наручивање услова:

Запремина

Ако се ортохедрон сматра призмом, тада се његов обим израчунава овако:

У овом се случају под димензијама ц и а узима као правоугаона основа, тако да је површина базе ц⋅а.

Висина је дата дужином б ивица правокутних на бочним странама а и ц.

Помножење површине базе (а⋅ц) са висином б даје запремину В ортоедра:

Унутрашња дијагонала

У ортоедру постоје две врсте дијагонала: спољна дијагонала и унутрашња дијагонала.

Спољне дијагонале су на правоугаоним лицима, док су унутрашње дијагонале сегменти који се спајају два супротна вертикала, а подразумевају их супротни врхови који не деле ниједну ивицу.

У ортоедру су четири унутрашње дијагонале, све једнаке мере. Дужина унутрашњих дијагонала може се добити применом питагорејске теореме на праве троуглове.

Дужина д спољне дијагонале пода лица ортоедра испуњава питагорејски однос:

д ² = а ² + ц ²

Слично томе, унутрашња дијагонала мере Д испуњава питагорејски однос:

Д ² = д ² + б ² .

Комбинујући два претходна израза имамо:

Д ² = а ² + ц ² + б ² .

Коначно, дужина било које унутрашње дијагонале ортоедра је дата следећом формулом:

Д = √ (а ² + б ² + ц ² ).

Примери

- Пример 1

Зидар гради тенк у облику ортоедра чије су унутрашње димензије: 6 мк 4 м у основи и 2 м висине. Пита се:

а) Одредите унутрашњу површину резервоара ако је потпуно отворена на врху.

б) Израчунајте запремину унутрашњег простора резервоара.

ц) Пронађите дужину дијагонале унутрашњости.

д) Колики је капацитет резервоара у литрама?

Решење за

Димензије правоугаоне основе узећемо а = 4 м и ц = 6 м, а висина б = 2 м

Површина ортоедра са датим димензијама дана је следећим односом:

А = 2⋅ (а⋅б + б⋅ц + ц⋅а) = 2⋅ (4 м⋅2 м + 2 м⋅6 м + 6 м⋅4 м)

Односно:

А = 2⋅ (8 м ² + 12 м ² + 24 м ² ) = 2⋅ (44 м ² ) = 88 м ²

Претходни резултат је подручје затвореног ортоедра са датим димензијама, али будући да је резервоар потпуно откривен у његовом горњем делу, да би се добила површина унутрашњих зидова резервоара, потребно је одузети површину недостајућег поклопца, а то је:

ц⋅а = 6 м ⋅ 4 м = 24 м ² .

Коначно, унутрашња површина резервоара биће: С = 88 м ² - 24 м ² = 64 м ² .

Решење б

Унутрашња запремина резервоара дата је запремином ортоедра унутрашњих димензија резервоара:

В = а⋅б⋅ц = 4 м ⋅ 2 м ⋅ 6 м = 48 м ³ .

Решење ц

Унутрашња дијагонала октаедра са димензијама унутрашњости резервоара има дужину Д коју даје:

√ (а ² + б ² + ц ² ) = √ ((4 м) ² + (2 м) ² + (6 м) ² )

Обављајући назначене операције имамо:

Д = √ (16 м ² + 4 м ² + 36 м ² ) = √ (56 м ² ) = 2√ (14) м = 7,48 м.

Решење д

Да бисте израчунали капацитет резервоара у литрама, потребно је знати да је запремина кубичног дециметра једнака запремини литра. Раније је израчуната у запремини у кубичним метрима, али се мора трансформисати у кубичне дециметре, а затим у литре:

В = 48 м ³ = 48 (10 дм) ³ = 4.800 дм ³ = 4.800 Л

- Вежба 2

Стаклени акваријум има кубни облик са страном од 25 цм. Одредите површину у м ² , запремину у литрама и дужину дијагонале унутрашњости у цм.

Слика 4. Стаклени акваријум кубичног облика.

Решење

Површина се израчунава по истој формули ортоедра, али узимајући у обзир да су све димензије идентичне:

А = 2⋅ (3 а⋅а) = 6⋅ а ² = 6⋅ (25 цм) ² = 1,250 цм ²

Запремина коцке је дата са:

В = а ³ = (25 цм) ³ = 15.625 цм ³ = 15.625 (0.1 дм) ³ = 15.625 дм ³ = 15.625 Л.

Дуљина Д унутарње дијагонале је:

Д = √ (3а ² ) = 25√ (3) цм = 43,30 цм.

Референце

1. Ариас Ј. ГеоГебра: Присма. Опоравак од: иоутубе.цом.
2. Цалцулатион.цц. Вежбе и решени проблеми подручја и волумена. Опоравак од: Цалцуло.цц.
3. Салвадор Р. Пирамида + ортохедрон са ГЕОГЕБРА (ИХМ). Опоравак од: иоутубе.цом
4. Веисстеин, Ериц. "Ортохедрон". МатхВорлд. Волфрам Ресеарцх.
5. Википедиа. Ортохедрон Опоравак од: ес.википедиа.цом