ХИПЕРБОЛИЧКИ ПАРАБОЛОИД: ДЕФИНИЦИЈА, СВОЈСТВА И ПРИМЕРИ - МАТХС - 2025

Хиперболиц параболоид је површина чија Општа једначина у Декартовим координатама (к, и, з) задовољава следеће једначине:

(к / а) ² - (и / б) ² - з = 0.

Назив "параболоид" потиче од чињенице да променљива з зависи од квадрата променљивих к и и. Док је придев "хиперболички" последица чињенице да при фиксним вредностима з имамо једначину хиперболе. Облик ове површине сличан је облику коњског седла.

Слика 1. Хиперболички параболоид з = к ² - и ² . Извор: Ф. Запата користећи Волфрам Матхематица.

Опис хиперболичког параболоида

Да бисмо разумели природу хиперболичког параболоида, направиће се следећа анализа:

1.- Узет ћемо посебан случај а = 1, б = 1, то јест да картезијанска једнаџба параболоида остаје као з = к ² - и ² .

2. - Равнине се сматрају паралелним са ЗКС равнином, то јест, и = цтте.

3.- Са и = цтте остаје з = к ² - Ц, које представљају параболе са гранама према горе и вертексом испод КСИ равни.

Слика 2. Породица кривих з = к ² - Ц. Извор: Ф. Запата помоћу Геогебре.

4.- Са к = цтте остаје з = Ц - и ² , које представљају параболе са гранама надоле и вертексом изнад КСИ равни.

Слика 3. Породица кривих з = Ц - и ² . Извор: Ф. Запата кроз Геогебру.

5.- Са з = цтте остаје Ц = к ² - и ² , које представљају хиперболе у ​​равнинама паралелним са КСИ равнином. Када је Ц = 0, постоје две линије (на + 45º и -45º у односу на ос Кс) које се пресецају на исходишту на равнини КСИ.

Слика 4. Породица кривих к ² - и ² = Ц. Извор: Ф. Запата помоћу Геогебре ..

Својства хиперболичког параболоида

1. - Четири различите тачке у тродимензионалном простору дефинишу један и само један хиперболички параболоид.

2.- Хиперболички параболоид је површина с двоструким владањем. То значи да упркос томе што је закривљена површина, две различите линије пролазе кроз сваку тачку хиперболичког параболоида који у потпуности припадају хиперболичком параболоиду. Друга површина која није равнина и којом двоструко влада, је хиперболоид револуције.

Управо је друго својство хиперболичког параболоида оно што је омогућило његову широку употребу у архитектури, јер се површина може генерисати из правих греда или струна.

Друго својство хиперболичког параболоида омогућава алтернативну дефиницију истог: површину може створити покретна равна паралелна са фиксном равнином и пресече две фиксне линије које служе као водич. Следећа слика појашњава ову алтернативну дефиницију хиперболичког параболоида:

Слика 5. Хиперболички параболоид је површина с двоструким владањем. Извор: Ф. Запата.

Примери рада

- Пример 1

Покажите да једначина: з = ки, одговара хиперболичком параболоиду.

Решење

Трансформација ће се применити на к и и променљиве које одговарају ротацији картезијанске осе у односу на З оси од + 45º. Старе координате к и и се трансформишу у нове к 'и и' према следећим односима:

к = к '- и'

и = к '+ и'

док з координата остаје иста, то јест, з = з '.

Супституцијом у једначини з = ки имамо:

з '= (к' - и ') (к' + и ')

Примјењујући значајан производ разлике за зброј једнак разлици квадрата, имамо:

з '= к' ² - и ' ²

што јасно одговара првобитно датој дефиницији хиперболичког параболоида.

Пресретање равнина паралелних са оси КСИ са хиперболичким параболоидом з = ки одређује једнакостраничне хиперболе које имају асимптоте као да су равни к = 0 и и = 0.

- Пример 2

Одредите параметре а и б хиперболичког параболоида који пролази кроз тачке А (0, 0, 0); Б (1, 1, 5/9); Ц (-2, 1, 32/9) и Д (2, -1, 32/9).

Решење

Према својим својствима, четири тачке у тродимензионалном простору одређују један хиперболички параболоид. Општа једначина је:

з = (к / а) ² - (и / б) ²

Дане вредности замјењујемо:

За тачку А имамо 0 = (0 / а) ² - (0 / б) ² , једначину која је задовољена без обзира на вредности параметара а и б.

Заменом тачке Б, добијамо:

5/9 = 1 / а ² - 1 / б ²

Док за тачку Ц остаје:

32/9 = 4 / а ² - 1 / б ²

Коначно, за тачку Д добијамо:

32/9 = 4 / а ² - 1 / б ²

Што је идентично претходној једначини. На крају, систем једначина мора бити решен:

5/9 = 1 / а ² - 1 / б ²

32/9 = 4 / а ² - 1 / б ²

Одузимање друге једначине од прве даје:

27/9 = 3 / а ² што значи да је а ² = 1.

На сличан начин, друга једначина се одузима од четвороструке прве, добијајући:

(32-20) / 9 = 4 / а ² - 4 / а ² -1 / б ² + 4 / б ²

Што је поједностављено као:

12/9 = 3 / б ² ⇒ б ² = 9/4.

Укратко, хиперболички параболоид који пролази кроз дате тачке А, Б, Ц и Д има картузијанску једнаџбу дану са:

з = к ² - (4/9) и ²

- Пример 3

Према својствима хиперболичког параболоида, две линије пролазе кроз сваку тачку која се у њему потпуно налазе. За случај з = к ^ 2 - и ^ 2 пронађите једначину двеју линија које пролазе кроз тачку П (0, 1, -1) које јасно припадају хиперболичком параболоиду, тако да све тачке ових линија такође припадају исти.

Решење

Користећи изванредан продукт разлике квадрата, једначина за хиперболички параболоид се може написати овако:

(к + и) (к - и) = цз (1 / ц)

Где ц је нулта константа.

Једнаџба к + и = цз, и једначина к - и = 1 / ц одговарају две равни са нормалним векторима н = <1,1, -ц> и м = <1, -1,0>. Векторски производ мкн = <- ц, -ц, -2> даје нам правац пресека двеју равнина. Тада једна од линија која пролази кроз тачку П и припада хиперболичком параболоиду има параметричку једначину:

= <0, 1, -1> + т <-ц, -ц, -2>

Да бисмо одредили ц, тачку П замјењујемо једнаџбом к + и = цз, добивајући:

ц = -1

На сличан начин, али с обзиром на једначине (к - и = кз) и (к + и = 1 / к) имамо параметричну једначину правца:

= <0, 1, -1> + с са к = 1.

Укратко, два ретка:

= <0, 1, -1> + т <1, 1, -2> и = <0, 1, -1> + с <1, -1, 2>

Они су у потпуности садржани у хиперболичком параболоиду з = к ² - и ^{2 који} пролази кроз тачку (0, 1, -1).

Претпоставимо да је т = 1 који нам даје тачку (1,2, -3) на првој линији. Морате да проверите да ли је и на параболоиду з = к ² - и ² :

-3 = 1 ² - 2 ² = 1 - 4 = -3

Што потврђује да заиста припада површини хиперболичког параболоида.

Хиперболички параболоид у архитектури

Слика 6. Оцеанографски део Валенсије (Шпанија) Извор: Викимедиа Цоммонс.

Хиперболички параболоид су у архитектури користили велики авангардни архитекти, међу којима се истичу имена шпанског архитекте Антонија Гаудија (1852.-1926.), А нарочито нарочито шпанског Фелика Цандела (1910.-1997.).

Испод су неки радови засновани на хиперболичком параболоиду:

-Капела града Цуернаваца (Мексико) посао архитекте Фелика Цандела.

-Оцеанографска слика Валенсије (Шпанија), такође Феликс Кандела.

Референце

1. Енциклопедија математике. Владала површина. Опоравак од: енцицлопедиаофматх.орг
2. Ллера Рубен Хиперболички параболоид. Опоравак од: рубенллера.вордпресс.цом
3. Веисстеин, Ериц В. "Хиперболички параболоид." Фром МатхВорлд - Волфрам Веб Ресоурце. Опоравак од: матхворлд.волфрам.цом
4. Википедиа. Параболоид. Опоравак од: ен.википедиа.цом
5. Википедиа. Параболоид. Опоравак од: ес.википедиа.цом
6. Википедиа. Подвлачена површина. Опоравак од: ен.википедиа.цом