ПЕРИМЕТАР КРУГА: КАКО ГА ИЗВАДИТИ И ФОРМУЛЕ, РЕШЕНЕ ВЕЖБЕ - МАТХС - 2025

Обим круга је скуп тачака које чине нацрт круг и такође је познат као дужине обима. Зависи од радијуса, јер ће очигледно да ће већа опсег имати већу контуру.

Нека је П обод круга, а Р његов полумјер, тада можемо израчунати П следећом једначином:

Периметар круга (у овом случају пица) зависи од његовог радијуса. Извор: Пикабаи.

Где је π стварни број (читај „пи”), вредан отприлике 3.1416… Елипса настаје због чињенице да π има бесконачно децимална места. Због тога је приликом израчунавања потребно заокружити његову вредност.

Међутим, за већину апликација довољно је узети овде наведени износ или користити све децимале које враћа калкулатор са којим радите.

Ако уместо да имамо радијус, преферира се коришћење пречника Д, за који знамо да је двоструко до полупречника, обод се изражава на следећи начин:

Како је обод дужине, он се мора увек изразити јединицама попут метра, центиметара, стопа, инча и више, зависно од система који се преферира.

Кружнице и кругови

То су често изрази који се употребљавају наизменично, односно као синоними. Али се дешава да између њих постоје разлике.

Реч "периметар" долази од грчке "пери" што значи контура и "метар" или мера. Опсег је обрис или обод круга. Формално је дефинисано на следећи начин:

Са своје стране, круг је дефинисан на следећи начин:

Читалац може уочити суптилну разлику између ова два концепта. Опсег се односи само на скуп тачака на ивици, док је круг скуп тачака од ивице до унутрашње стране, чија је опсег граница.

Вежбе д емострацион израчунавања обода круга

Кроз следеће вежбе, горе описани концепти биће примењени у пракси, као и неке друге које ће бити објашњено како се појаве. Кренућемо од најједноставнијег, а степен тешкоће ће се прогресивно повећавати.

- Вежба 1

Пронађите обод и површину круга са полумјером 5 цм.

Решење

Једнаџба дата на почетку се примењује директно:

За израчунавање површине А користи се следећа формула:

- Вежба 2

а) На следећој слици пронађите обод и површину празне регије. Средина засјењеног круга је црвена тачка, док је центар белог круга зелена тачка.

б) Поновите претходни одељак за затамњену област.

Кругови за вежбу 2. Извор: Ф. Запата.

Решење

а) Полумјер белог круга је 3 цм, па применимо исте једначине као у вежби 1:

б) радијус је засенчен у круг 6 цм, његов обод је дупли од израчунатог у одељку а):

И на крају се површина засјењене регије израчунава на следећи начин:

- Прво нађемо подручје засјењеног круга као да је потпуно, које ћемо назвати А ', овако:

- Вежба 3

Пронађите површину и ободу засјењене регије на следећој слици:

Слика за вежбу 3. Извор: Ф. Запата.

Решење

Прорачун површине засјењене регије

Прво израчунавамо површину кружног сектора или клина, између правих сегмената ОА и ОБ и кружног сегмента АБ, као што је приказано на следећој слици:

Да бисмо то учинили, користи се следећа једначина која нам даје подручје кружног сектора, познавајући радијус Р и централни угао између сегмената ОА и ОБ, односно два радијуса обима:

Тамо где је αº централни угао - он је централни, јер је његова врха средиште обима - између два радијуса.

Корак 1: израчунајте површину кружног сектора

На овај начин, површина сектора приказана на слици је:

2. корак: израчунајте површину троугла

Даље ћемо израчунати површину белог троугла на слици 3. Овај троугао је једнакостраничан и његова површина је:

Висина је испрекидана црвена линија приказана на слици 4. Да бисте је пронашли, можете користити питагорејску теорему, на пример. Али то није једини начин.

Посматрачки читалац ће приметити да је једнакостранични троугао подељен на два идентична троугла, чија је основа 4 цм:

У правом троуглу је испуњена питагорејска теорема:

Корак 3: прорачун засјењене површине

Довољно је одузети већу површину (површину кружног сектора) од мањег подручја (оног једнакостраничног троугла): _{Осјенчана регија} = 33,51 цм ² - 27,71 цм ² = 5,80 цм ² .

Израчунавање обода засјењене регије

Тражени обод је сума правокутне странице 8 цм и лука обима АБ. Сада, потпуни обим подвлачи 360 °, дакле лук који подвлачи 60 ° је једна шестина укупне дужине, за коју знамо да је 2.π.Р:

Замјењујући, обод засјењене регије је:

Апликације

Периметар је, као и простор, веома важан концепт у геометрији и са многим примјенама у свакодневном животу.

Уметници, дизајнери, архитекти, инжењери и многи други људи користе обод док развијају своје радове, посебно кружни, јер је округли облик свуда: од рекламе, преко хране до машина.

Кружница и круг су међу најкоришћенијим геометријама. Извор: Пикабаи.

Да бисте директно знали дужину обима, довољно је да га обмотате нити или нити, а затим продужите тај конац и одмерите га траком. Друга алтернатива је да се измери радијус или пречник круга и употреби једна од горе описаних формула.

У свакодневном раду појам периметра користи се када:

-Препоручени калуп је изабран за одређену величину пице или торте.

-Предвиђа се градски пут израчунавањем величине бочице у којој се аутомобили могу окренути да промијене правац.

-Знамо да се Земља окреће око Сунца у приближно кружној орбити - заправо су планетарне орбите по Кеплеровим законима елиптичне, али опсег је врло добра апроксимација за већину планета.

-Препоручена величина прстена је изабрана за куповину у Интернет продавници.

- Бирамо кључ одговарајуће величине да бисте отпустили матицу.

И још много тога.

Референце

1. Бесплатни уџбеници из математике. Површина и обод круга - Калкулатор геометрије. Опоравак од: анализематх.цом.
2. Отворена математичка референца. Кружница, обод круга. Опоравак од: матхопенреф.цом.
3. Монтереи Институте. Периметар и површина. Опоравак од: монтереиинституте.орг.
4. Сциацхинг. Како пронаћи обод круга. Опоравило од: сциацхинг.цом.
5. Википедиа. Кружница. Опоравак од: ен.википедиа.орг.