ШЕСТЕРОКУТНА ПИРАМИДА: ДЕФИНИЦИЈА, КАРАКТЕРИСТИКЕ И ПРИМЕРИ - МАТХС - 2025

Хекагонал пирамида је полиедр формиран од шестоугао, које је основа, и шест троуглови које почињу од темена шестоугла и сусрет у тачки изван равни која садржи базу. Та тачка сагласности позната је под називом врх или пирамида.

Поледед је затворено тродимензионално геометријско тело на чијим су лицима равне фигуре. Шестерокут је затворена равни равнина (полигон) сачињена од шест страна. Ако су свих шест страна исте дужине и формирају једнаке углове, каже се да су правилне; иначе је неправилан.

Дефиниција

Шестерокутна пирамида садржи седам лица, основицу и шест бочних троуглова, од којих је база једина која не додирује врх.

Каже се да је пирамида равна ако су сви бочни троуглови једнаки. У овом случају, висина пирамиде је сегмент који од врха иде ка центру шестерокута.

Опћенито, висина пирамиде је удаљеност између врха и равнине базе. Каже се да је за пирамиду коса, ако нису сви бочни троуглови једнаке.

Ако је шестерокут правилан а пирамида такође равна, каже се да је то обична шестерокутна пирамида. Слично томе, ако је шестерокут неправилан или је пирамида коса, каже се да је то неправилна шестерокутна пирамида.

карактеристике

Конкавно или конвексно

Полигон је конвексан ако је мера свих углова у унутрашњости мања од 180 степени. Геометријски, то је еквивалентно казивању да је, с обзиром на пар тачака унутар полигона, линијски сегмент који их спаја садржаван у полигону. Иначе се каже да је полигон конкаван.

Ако је шестерокут конвексан, каже се да је пирамида конвексна шестерокутна пирамида. Иначе ће се рећи да је конкавна шестерокутна пирамида.

Ивице

Ивице пирамиде су странице шест троуглова који чине.

Апотема

Апотема пирамиде је удаљеност између врха и страна од базе пирамиде. Ова дефиниција има смисла само када је пирамида правилна, јер ако је неправилна, та удаљеност варира у зависности од троугла који се разматра.

С друге стране, у правилним пирамидама апотема ће одговарати висини сваког троугла (будући да је сваки једнакје једнаки) и биће иста у свим троугловима.

Апотема базе је растојање једне од страна базе и средишта од ње. Начин на који је дефинисан, апотема базе такође има смисла само у регуларним пирамидама.

Денотације

Висина шестерокутне пирамиде ће бити означена са х , апотема базе (у уобичајеном случају) АПб и апотема пирамиде (такође у редовном случају) АП .

Карактеристика правилних шестерокутних пирамида је да х , АПб и АП формирају прави троугао са хипотенузом АП и ногама х и АПб . По питагорејском теорему имамо да је АП = √ (х ^ 2 + АПб ^ 2).

Слика изнад представља редовну пирамиду.

Како израчунати површину? Формуле

Размотрите правилну шестерокутну пирамиду. Нека је А мерило сваке стране шестерокутника. Тада А одговара мери основе сваког троугла пирамиде, а самим тим и ивица базе.

Подручје полигона је производ периметра (зброј страна) и апотема базе, подељен са два. У случају шестерокута то би био 3 * А * АПб.

Може се видети да је површина правилне шестерокутне пирамиде једнака шест пута већој површини сваког троугла пирамиде плус површини основе. Као што је раније поменуто, висина сваког троугла одговара апотему пирамиде, АП.

Стога је површина сваког троугла у пирамиди дата А * АП / 2. Према томе, подручје правилне шестерокутне пирамиде је 3 * А * (АПб + АП), где је А ивица базе, АПб је апотема базе, а АП апотема пирамиде.

Прорачун у неправилним шестерокутним пирамидама

У случају неправилне шестерокутне пирамиде, не постоји директна формула за израчунавање површине као у претходном случају. То је зато што ће сваки троугао у пирамиди имати различито подручје.

У овом случају површина сваког троугла мора се израчунати одвојено и површина базе. Тада ће површина пирамиде бити збир свих раније израчунатих површина.

Како израчунати запремину? Формуле

Запремина пирамиде правилног шестерокутног облика је производ висине пирамиде и површине базе подељене са три. Према томе, волумен правилне шестерокутне пирамиде је дат А * АПб * х, где је А ивица базе, АПб је апотема базе, а х висина пирамиде.

Прорачун у неправилним шестерокутним пирамидама

Аналогно површини, у случају неправилне шестерокутне пирамиде, нема директне формуле за израчунавање запремине, јер ивице базе немају исто мерење, јер је то неправилни многокут.

У овом случају површина базе мора се израчунати одвојено и запремина ће бити (х * Површина базе) / 3.

Пример

Пронађите површину и запремину правилне шестерокутне пирамиде висине 3 цм, чија је основа прави шестерокут од 2 цм са сваке стране, а апотема базе је 4 цм.

Решење

Прво, мора се израчунати апотема пирамиде (АП), што је једини недостајући податак. Гледајући горњу слику, види се да висина пирамиде (3 цм) и апотема базе (4 цм) чине прави троугао; Стога се за израчунавање апотема пирамиде користи питагорејска теорема:

АП = √ (3 ^ 2 + 9 ^ 2) = √ (25) = 5.

Дакле, из горе написане формуле слиједи да је површина једнака 3 * 2 * (4 + 5) = 54цм ^ 2.

С друге стране, помоћу формуле запремине добијено је да је запремина дате пирамиде 2 * 4 * 3 = 24цм ^ 3.

Референце

1. Биллстеин, Р., Либескинд, С., & Лотт, ЈВ (2013). Математика: Приступ рјешавању проблема наставника у основном образовању. Лопез Матеос Едиторс.
2. Фрегосо, РС, и Царрера, СА (2005). Математика 3. Уреднички зборник.
3. Галлардо, Г., и Пилар, ПМ (2005). Математика 6. Уреднички зборник.
4. Гутиеррез, ЦТ и Циснерос, МП (2005). 3. курс математике. Редакција Прогресо.
5. Кинсеи, Л., и Мооре, ТЕ (2006). Симетрија, облик и простор: увод у математику кроз геометрију (илустровано, преисп. Ур.). Спрингер наука и пословни медији.
6. Митцхелл, Ц. (1999). Заслепљујуће математичке линије (Илустровано изд.). Сцхоластиц Инц.
7. Р., МП (2005). Извлачим 6. мјесто. Редакција Прогресо.