КОНВЕКСНИ ПОЛИГОН: ДЕФИНИЦИЈА, ЕЛЕМЕНТИ, СВОЈСТВА, ПРИМЕРИ - МАТХС - 2025

Конвексан полигон је геометријска фигура који се налази у авиону који се карактерише зато што има све своје дијагонале у својој унутрашњости и његове углове величине мање од 180 °. Међу његовим својствима су следећа:

1) Састоји се од н узастопних сегмената где се последњи одсек придружи првом. 2) Ниједан од сегмената не пресеца се на такав начин да ограничава равнину у унутрашњој и спољној области. 3) Сваки угао у унутрашњости је строго мањи од равног угла.

Слика 1. Полигони 1, 2 и 6 су конвексни. (Припремио Рицардо Перез).

Једноставан начин да се утврди да ли је полигон конвексан или не јесте да се размотри линија која пролази кроз једну од његових страна, а која одређује две полу-равни. Ако су у свакој линији која пролази кроз једну страну, остале стране полигона су у истој половини, тада је то конвексни многокут.

Елементи полигона

Сваки полигон се састоји од следећих елемената:

- стране

- Врхови

Странице су сваки од узастопних сегмената који чине полигон. У полигону ниједан од сегмената који га чине не може имати отворени крај, у том случају би постојала многокутна линија, али не и полигон.

Врхови су тачке спајања два узастопна сегмента. У полигону је број врхова увек једнак броју страна.

Ако се две стране или сегменти полигона пресијецају, тада имате укрштени полигон. Прелазно место се не сматра врхом. Укрштени полигон је некоконвексан полигон. Звездни полигони су попречни полигони и због тога нису конвексни.

Кад полигон има све стране исте дужине, тада имамо редован полигон. Сви правилни полигони су конвексни.

Конвексни и неконвексни полигони

На слици 1 приказано је неколико полигона, неки су конвексни, а неки нису. Хајде да их анализирамо:

Број 1 је тространи многокут (троугао), а сви унутрашњи углови су мањи од 180 °, дакле то је конвексни многокут. Сви троуглови су конвексни полигони.

Број 2 је четверострани полигон (четверострани) где се ниједна страна не пресече и сваки унутрашњи угао је мањи од 180 °. Тада је конвексни полигон са четири стране (конвексни четверострани).

С друге стране, број 3 је полигон са четири стране, али један од његових унутрашњих углова је већи од 180 °, тако да не испуњава услов конвексности. То јест, то је неконвексни четверострани многокут који се назива конкавни четвеространик.

Број 4 је полигон са четири сегмента (стране), од којих се два пресеку. Четири унутрашња угла су мања од 180 °, али пошто се две стране пресијецају, то је некоконвексни попречни полигон (укрштени четверокут).

Други случај је број 5. Ово је полигон са пет страна, али пошто је један од његових унутрашњих углова већи од 180 °, тада имамо конкавни полигон.

Коначно, број 6, који такође има пет страна, има све унутрашње углове мање од 180 °, тако да је конвексан многокут са пет страна (конвексни пентагон).

Својства конвексног полигона

1- Непокрижен многокут или једноставан полигон дели равнину која га садржи на две области. Унутрашња и спољна регија, полигон је граница између две регије.

Али ако је полигон додатно конвексан, тада имамо унутрашњу област која је једноставно повезана, што значи да узимајући било које две тачке из унутрашњости, увек се може придружити сегменту који у потпуности припада унутрашњости.

Слика 2. Конвексни полигон је једноставно повезан, док конкавни није. (Припремио Рицардо Перез).

2- Сваки унутрашњи угао конвексног полигона мањи је од равног угла (180 °).

3- Све унутрашње тачке конвексног полигона увек припадају једној од полу-равнина дефинисаних линијом која пролази кроз две узастопне врхове.

4- У конвексном полигону све дијагонале су потпуно садржане у унутрашњој полигоналној регији.

5- Унутрашње тачке конвексног полигона у потпуности припадају конвексном кутном сектору дефинисаном сваки угао унутрашњости.

6- Сваки полигон у коме су све његове врхове на ободу је конвексни многокут који се назива циклични полигон.

7- Сваки циклични полигон је конвексан, али није сваки конвексни полигон циклички.

8- Сваки неопрезни полигон (једноставан полигон) који има све стране једнаке дужине је конвексан и познат је као правилан многокут.

Дијагонале и углови у конвексним многокутима

9- Укупан број Н дијагонала конвексног полигона са н странама дат је следећом формулом:

Н = ½ н (н - 3)

Доказ: У конвексном полигону са н страницама сваке врхове нацртано је н - 3 дијагонале, будући да су сам врх и две суседне стране искључене. Пошто постоји н врхова, црта се укупно н (н - 2) дијагонала, али свака дијагонала је нацртана два пута, тако да је број дијагонала (без понављања) н (н-2) / 2.

10 - Збир унутрашњих углова конвексног многокута са н страницама дат је следећим односом:

С = (н - 2) 180 °

Примери

Пример 1

Циклички шестерокут је полигон са шест страна и шест врхова, али све врхове су на истом обиму. Сваки циклични полигон је конвексан.

Циклични шестерокут.

Пример 2

Одредите вредност унутрашњих углова правилног енегона.

Рјешење: енегон је полигон са 9 страна, али ако је и правилан, све су му странице и углови једнаки.

Збир свих углова унутрашњости девестраног полигона је:

С = (9 - 2) 180º = 7 * 180º = 1260º

Али постоји 9 унутрашњих углова једнаке мере α, тако да се мора испунити следећа једнакост:

С = 9 α = 1260º

Из чега произлази да је мера α сваког унутрашњег угла правилног енегона:

α = 1260º / 9 = 140º