МУЛТИПЛИКАТИВНИ ПРИНЦИП: ТЕХНИКЕ И ПРИМЕРИ БРОЈАЊА - МАТХС - 2025

Мултипликативни Принцип је техника која се користи у решавању проблема бројања да се пронађе решење, без потребе да листу својих елемената. Познат је и као основни принцип комбинаторне анализе; заснива се на сукцесивном множењу како би се утврдило како се догађај може догодити.

Овај принцип каже да, ако се одлука (д ₁ ) може донијети на н начина и друга одлука (д ₂ ) може се донети на м начин, укупан број начина на које се могу донети одлуке д ₁ и д ₂ биће једнак да се множи са н _* м. Према принципу, свака одлука се доноси једна за другом: број начина = Н _{1 *} Н ₂ … _* Н _к начина.

Примери

Пример 1

Паула планира да иде у биоскопе са пријатељима, а да одаберем одећу коју ће носити, одвојим 3 блузе и 2 сукње. На колико се начина Паула може обући?

Решење

У овом случају, Паула мора донети две одлуке:

д ₁ = Изаберите између 3 блузе = н

д ₂ = Изаберите између 2 сукње = м

На тај начин Паула има н _* м одлуке да доноси или различите начине одевања.

н _* м = 3 _* 2 = 6 одлука.

Мултипликативни принцип настао је из технике дијаграма стабла, што је дијаграм који повезује све могуће резултате, тако да се сваки може појавити у одређеном броју пута.

Пример 2

Марио је био јако жедан, па је отишао у пекару да купи сок. Луис се брине за њега и говори му да долази у две величине: великој и малој; и четири укуса: јабука, наранџа, лимун и грожђе. На колико начина Марио може одабрати сок?

Решење

На дијаграму се види да Марио има 8 различитих начина да одабере сок и да се, као и код мултипликативног принципа, овај резултат добије множењем н _* м. Једина разлика је у томе што кроз овај дијаграм можете видети какви су начини на који Марио бира сок.

С друге стране, када је број могућих исхода врло велик, практичније је користити мултипликативни принцип.

Технике бројања

Технике бројања су методе које се користе за директно бројање, и на тај начин се зна број могућих аранжмана које могу имати елементи одређеног скупа. Ове технике су засноване на неколико принципа:

Принцип додавања

Овај принцип каже да, ако се два догађаја м и н не могу истовремено догодити, број начина на који се може догодити први или други догађај бит ће зброј м + н:

Број облика = м + н… + к различитих облика.

Пример

Антонио жели да крене на путовање, али не одлучује до које дестинације; у Јужној туристичкој агенцији нуде вам промоцију за путовање у Њујорк или Лас Вегас, док Источна туристичка агенција препоручује путовање у Француску, Италију или Шпанију. Колико различитих алтернатива за путовања вам нуди Антонио?

Решење

Са Јужном туристичком агенцијом Антонио има две алтернативе (Њујорк или Лас Вегас), док код Источне туристичке агенције има 3 могућности (Француска, Италија или Шпанија). Број различитих алтернатива је:

Број алтернатива = м + н = 2 + 3 = 5 алтернатива.

Принцип пермутације

Ради се о специфичном наручивању свих или неких елемената који чине скуп, како би се олакшало бројање свих могућих аранжмана који се могу направити с елементима.

Број пермутација н различитих елемената, узетих одједном, представљен је као:

_н П _н = н!

Пример

Четири пријатеља желе да се сликају и желе да знају на колико различитих начина се могу договорити.

Решење

Желите знати скуп свих могућих начина на које се могу поставити 4 особе за фотографирање. Дакле, морате:

₄ П ₄ = 4! = 4 _* 3 _* 2 _* 1 = 24 различита облика.

Ако се број пермутација н расположивих елемената узима у деловима скупа који је састављен од р елемената, представља се као:

_н П _{р =} н! ÷ (н - р)!

Пример

У учионици има 10 места. Ако 4 ученика похађају наставу, на колико различитих начина студенти могу попунити позиције?

Решење

Имамо да је укупан број гарнитура столица 10, а од ове ће се користити само 4. Дате формула се примењује за одређивање броја пермутација:

_н П _р = н! ÷ (н - р)!

₁₀ П ₄ = 10! ÷ (10 - 4)!

₁₀ П ₄ = 10! ÷ 6!

₁₀ П ₄ = 10 _* 9 _* 8 _* 7 _* 6 _* 5 _* 4 _* 3 _* 2 _* 1 ÷ 6 _* 5 _* 4 _* 3 _* 2 _* 1 = 5040 начина за попуњавање позиција.

Постоје случајеви у којима се неки од доступних елемената скупа понављају (исти су). За израчунавање броја низова који узимају све елементе истовремено, користи се следећа формула:

_н П _р = н! ÷ н ₁ ! _* н ₂ !… н _р !

Пример

Колико различитих речи од четири слова може да се формира од речи "вук"?

Решење

У овом случају постоје 4 елемента (слова) од којих су два потпуно иста. Примјеном дате формуле зна се колико различитих ријечи резултирају:

_н П _р = н! ÷ н ₁ ! _* н ₂ !… н _р !

₄ П _{2, 1,1} = 4! ÷ 2! _* 1! _* 1!

₄ П _{2, 1, 1} = (4 _* 3 _* 2 _* 1) ÷ (2 _* 1) _* 1 _* 1

₄ П _{2, 1, 1} = 24 ÷ 2 = 12 различитих речи.

Принцип комбинације

Ради се о аранжирању свих или неких елемената који чине сет без одређеног налога. На пример, ако имате КСИЗ аранжман, он ће између осталог бити идентичан аранжманима ЗКСИ, ИЗКС, ЗИКС; то је зато што, иако нису у истом редоследу, елементи сваког аранжмана су исти.

Када су неки елементи (р) узети из скупа (н), принцип комбинације је дат следећом формулом:

_н Ц _{р =} н! ÷ (н - р)! Р!

Пример

У продавници продају 5 различитих врста чоколаде. На колико различитих начина се може одабрати 4 чоколаде?

Решење

У овом случају се морају одабрати 4 чоколаде из 5 врста које се продају у продавници. Редослијед одабира није важан, а осим тога, врста чоколаде може се одабрати више од два пута. Примјењујући формулу, морате:

_н Ц _р = н! ÷ (н - р)! Р!

₅ Ц ₄ = 5! ÷ (5 - 4)! 4!

₅ Ц ₄ = 5! ÷ (1)! 4!

₅ Ц ₄ = 5 _* 4 _* 3 _* 2 _* 1 ÷ 4 _* 3 _* 2 _* 1

₅ Ц ₄ = 120 ÷ 24 = 5 различитих начина да одаберете 4 чоколаде.

Када су узети сви елементи (р) скупа (н), принцип комбинације је дат следећом формулом:

_н Ц _{н =} н!

Решене вежбе

Вежба 1

Постоји бејзбол екипа са 14 чланова. На колико начина се може доделити 5 позиција за игру?

Решење

Скуп се састоји од 14 елемената и желите да доделите 5 одређених положаја; то јест, наређивање је битно. Формула пермутације примењује се тамо где су н расположивих елемената узети делови скупа који је формиран р.

_н П _{р =} н! ÷ (н - р)!

Где је н = 14 и р = 5. Супституисан је у формули:

₁₄ П ₅ = 14! ÷ (14 - 5)!

₁₄ П ₅ = 14! ÷ (9)!

₁₄ П ₅ = 240 240 начина да доделите 9 позиција игре.

Вежба 2

Ако породица од 9 особа креће на пут и купи карте за узастопним седиштима, на колико различитих начина могу да седе?

Решење

Ријеч је о 9 елемената који ће заузети 9 мјеста узастопно.

П ₉ = 9!

П ₉ = 9 _* 8 _* 7 _* 6 _* 5 _* 4 _* 3 _* 2 _* 1 = 362 880 различитих начина седења.

Референце

1. Хопкинс, Б. (2009). Ресурси за подучавање дискретне математике: пројекти у учионици, историјски модули и чланци.
2. Јохнсонбаугх, Р. (2005). Дискретне математике. Пеарсон Едуцатион,.
3. Лутфиииа, ЛА (2012). Коначни и дискретни математички проблем. Уредници удружења за истраживање и образовање
4. Падро, ФЦ (2001). Дискретне математике. Политец. оф Цаталуниа.
5. Стеинер, Е. (2005). Математика за примењене науке. Реверте.