КРОС ПРОИЗВОД: СВОЈСТВА, ПРИМЕНЕ И ВЕЖБЕ - МАТХС - 2025

Цросс производ или вектора производа је начин множењем два или више вектора. Постоје три начина умножавања вектора, али ниједан од њих није умножавање у уобичајеном смислу те речи. Један од ових облика познат је као векторски производ, који резултира трећим вектором.

Попречни производ, који се још назива и унакрсни производ или спољашњи производ, има различита алгебарска и геометријска својства. Ова својства су веома корисна, посебно у погледу проучавања физике.

Дефиниција

Формална дефиниција векторског производа је следећа: ако су А = (а1, а2, а3) и Б = (б1, б2, б3) вектори, онда је векторски производ А и Б, који ћемо означити као АкБ,:

АкБ = (а2б3 - а3б2, а3б1 - а1б3, а1б2 - а2б1)

Због АкБ нотације, чита се као „Крст Б“.

Пример како се користи спољни производ је да ако су А = (1, 2, 3) и Б = (3, -2, 4) вектори, употребом дефиниције векторског производа имамо:

АкБ = (1, 2, 3) к (3, -2, 4) = (2 * 4 - 3 * (- 2), 3 * 3 - 1 * 4, 1 * (- 2) - 2 * 3)

АкБ = (8 + 6, 9 - 4, - 2 - 6) = (14, 5, - 8).

Други начин изражавања векторског производа дат је записом детерминанти.

Прорачун одреднице другог реда дат је:

Стога се формула за унакрсни производ дат у дефиницији може преписати на следећи начин:

Ово се обично поједностављује у одредницу трећег реда на следећи начин:

Где и, ј, к представљају векторе које чине основу Р ³ .

Користећи овај начин изражавања унакрсног производа, имамо да се претходни пример може преписати као:

Својства

Неке особине које поседује векторски производ су следеће:

Објекат 1

Уколико је А било који вектор в Р ³ , имамо:

- АкА = 0

- Ак0 = 0

- 0кА = 0

Ове особине је лако проверити користећи само дефиницију. Ако је А = (а1, а2, а3) имамо:

АкА = (а2а3 - а3а2, а3а1 - а1а3, а1а2 - а2а1) = (0, 0, 0) = 0.

Ак0 = (а2 * 0 - а3 * 0, а3 * 0 - а1 * 0, а1 * 0 - а2 * 0) = (0, 0, 0) = 0.

Ако И, Ј, К представљају јединице базу Р ³ , можемо их писати на следећи начин:

и = (1, 0, 0)

ј = (0, 1, 0)

к = (0, 0, 1)

Дакле, имамо да су тачна својства тачна:

Као мнемолошко правило, следећи круг се често користи за памћење ових својстава:

Ту морамо напоменути да сваки вектор са собом даје вектор 0 као резултат, а остатак производа се може добити следећим правилом:

Попречни продукт два узастопна вектора у смеру казаљке на сату даје следећи вектор; а када се размотри супротно од казаљке на сату, резултат је следећи вектор са негативним предзнаком.

Захваљујући тим својствима можемо видети да векторски производ није комутативан; на пример, само имајте на уму да икј = јк и. Следећа особина нам говори како су АкБ и БкА уопште повезани.

Проперти 2

Ако су А и Б су вектори Р ³ , имамо:

АкБ = - (БкА).

Демонстрација

Ако су А = (а1, а2, а3) и Б = (б1, б2, б3), по дефиницији спољног производа имамо:

АкБ = (а2б3 - а3б2, а3б1 - а1б3, а1б2 - а2б1)

= (- 1) (а3б2 - а2б3, а1б3 - а3б1, а2б1 - а1б2)

= (- 1) (БкА).

Такође можемо видети да овај производ није асоцијативан на следећи пример:

ик (икј) = икк = - ј, али (ики) кј = 0кј = 0

Из овога видимо то:

ик (икј) = (ики) кј

3. некретнина

Ако А, Б, Ц су вектори Р ³ и Р је прави број, важи следеће:

- Ак (Б + Ц) = АкБ + АкЦ

- р (АкБ) = (рА) кБ = Ак (рБ)

Захваљујући тим својствима можемо израчунати векторски производ користећи законе алгебре, под условом да се редослед поштује. На пример:

Ако је А = (1, 2, 3) и Б = (3, -2, 4), можемо их преправити у погледу канонског основу Р ³ .

Дакле, А = и + 2ј + 3к и Б = 3и - 2ј + 4к. Затим применом претходних својстава:

АкБ = (и + 2ј + 3к) к (3и - 2ј + 4к)

= 3 (ики) - 2 (икј) + 4 (икк) + 6 (јки) - 4 (јкј) + 8 (јкк) + 9 (кки) - 6 (ккј) +12 (ккк)

= 3 (0) - 2 (к) + 4 (- ј) + 6 (- к) - 4 (0) + 8 (и) + 9 (ј) - 6 (- и) +12 (0)

= - 2к - 4ј - 6к + 8и + 9ј + 6и = 14и + 5ј - 4к

= (14, 5, - 8).

Својство 4 (производ са троструким тачкама)

Као што смо поменули на почетку, постоје други начини умножавања вектора осим векторског производа. Један од ових начина је скаларни производ или унутрашњи производ, који је означен као А ∙ Б и чија је дефиниција:

Ако су А = (а1, а2, а3) и Б = (б1, б2, б3), тада је А ∙ Б = а1б1 + а2б2 + а3б3

Својство које повезује оба производа познато је као троструки скаларни производ.

Ако А, Б и Ц су вектори Р ³ , онда А ∙ БКСЦ = АкБ ∙ Ц

Као пример, да видимо да је, с обзиром на А = (1, 1, - 2), Б = (- 3, 4, 2) и Ц = (- 5, 1, - 4), ово својство задовољено.

БкЦ = - 3к - 12ј + 20к - 16и - 10ј - 2и = - 18и - 22ј + 17к

А ∙ БкЦ = (1, 1, - 2) ∙ (- 18, - 22, 17) = (1) (- 18) + (1) (- 22) + (- 2) (17) = - 74

С друге стране:

АкБ = 4к - 2ј + 3к + 2и + 6ј + 8и = 10и + 4ј + 7к

АкБ ∙ Ц = (10, 4, 7) ∙ (- 5, 1, - 4) = (10) (- 5) + (4) (1) + (7) (- 4) = - 74

Други троструки производ је Аке (БкЦ), који је познат као троструки векторски производ.

Својство 5 (троструки векторски производ)

Ако А, Б и Ц су вектори Р ³ , затим:

Ак (БкЦ) = (А ∙ Ц) Б - (А ∙ Б) Ц

Као пример, да видимо да је, с обзиром на А = (1, 1, - 2), Б = (- 3, 4, 2) и Ц = (- 5, 1, - 4), ово својство задовољено.

Из претходног примера знамо да је БкЦ = (- 18, - 22, 17). Израчунајмо Ак (БкЦ):

Осовина (БкЦ) = - 22к - 17ј + 18к + 17и + 36ј - 44и = - 27и + 19ј - 4к

Са друге стране, морамо:

А ∙ Ц = (1, 1, - 2) ∙ (- 5, 1, - 4) = (1) (- 5) + (1) (1) + (- 2) (- 4) = - 5 + 1 + 8 = 4

А ∙ Б = (1, 1, - 2) ∙ (- 3, 4, 2) = (1) (- 3) + (1) (4) + (- 2) (2) = - 3 + 4 - 4 = - 3

Дакле, морамо:

(А ∙ Ц) Б - (А ∙ Б) Ц = 4 (- 3, 4, 2) + 3 (- 5, 1, - 4) = (- 12, 16, 8) + (- 15, 3, - 12) = (- 27,19, –4)

Објекат 6

То је једно од геометријских својстава вектора. Ако су А и Б су два вектора у Р ³ и нагиба је угао који између њих, онда:

--АкБ-- = --А ---- Б - син (ϴ), где - ено - означава модул или величину вектора.

Геометријска интерпретација овог својства је следећа:

Нека су А = ПР и Б = ПК. Дакле, угао формиран векторима А и Б је угао П троугла РКП, као што је приказано на следећој слици.

Према томе, подручје паралелограма који има ПР и ПК као суседне стране је - А ---- Б - син (ϴ), јер можемо да узмемо - А-- као своју базу, а његова висина је дана са --Б - грех (ϴ).

Стога можемо закључити да је - АкБ-- подручје реченог паралелограма.

Пример

С обзиром на следеће врхове четверострана П (1, –2,3), К (4, 3, –1), Р (2, 2,1) и С (5,7, -3), показују да је наведени четвоространик је паралелограм и пронађите његово подручје.

За то прво утврђујемо векторе који одређују смер страна четверострана. Ово је:

А = ПК = (1 - 4, 3 + 2, - 1 - 3) = (3, 5, - 4)

Б = ПР = (2 - 1, 2 + 2, 1 - 3) = (1, 4, - 2)

Ц = РС = (5 - 2, 7 - 2, - 3 - 1) = (3, 5, - 4)

Д = КС = (5 - 4, 7 - 3, - 3 + 1) = (1, 4, - 2)

Као што видимо, А и Ц имају исти директоријски вектор, за који имамо да су обоје паралелни; исто се дешава и са Б и Д. Стога закључујемо да је ПКРС паралелограм.

Да бисмо добили површину овог паралелограма, израчунавамо БкА:

БкА = (и + 4ј - 2к) к (3и + 5ј - 4к)

= 5к + 4ј - 12к - 16и - 6ј + 10и

= - 6и - 2ј - 7к.

Стога ће површина квадрата бити:

- БкА-- ² = (- 6) ² + (- 2) ² + (- 7) ² = 36 + 4 + 49 = 89.

Може се закључити да ће површина паралелограма бити квадратни корен 89.

Објекат 7

Два вектора А и Б су паралелне на Р ³ ако и само ако АкБ = 0

Демонстрација

Јасно је да ако су А или Б нулта вектор, испуњено је да је АкБ = 0. Пошто је нулти вектор паралелан било којем другом вектору, тада је својство валидно.

Ако ниједан од два вектора није нулти вектор, сматрамо да су њихове величине различите од нуле; то јест, оба - А-- = 0 и - Б-- = 0, па ћемо имати - АкБ-- = 0 ако и само ако је син (ϴ) = 0, и то се догађа ако и само ако ϴ = π или ϴ = 0.

Стога можемо закључити АкБ = 0 ако и само ако је ϴ = π или ϴ = 0, што се дешава само када су оба вектора паралелна један са другим.

Објекат 8

Ако су А и Б су два вектора у Р ³ , онда АкБ је нормална на оба А и Б.

Демонстрација

За овај доказ, сетимо се да су два вектора окомита ако је А ∙ Б једнак нули. Надаље, знамо да:

А ∙ АкБ = АкА ∙ Б, али АкА је једнака 0. Дакле, имамо:

А ∙ АкБ = 0 ∙ Б = 0.

По овоме можемо закључити да су А и АкБ окомити један на други. Аналогно, морамо:

АкБ ∙ Б = А ∙ БкБ.

Пошто је БкБ = 0, имамо:

АкБ ∙ Б = А ∙ 0 = 0.

Стога су АкБ и Б окомити један на други и са тим је показано својство. То нам је веома корисно јер нам дозвољавају да одредимо једначину равни.

Пример 1

Добијте једначину равнине која пролази кроз тачке П (1, 3, 2), К (3, - 2, 2) и Р (2, 1, 3).

Нека је А = КР = (2 - 3.1 + 2, 3 - 2) и Б = ПР = (2 - 1.1 - 3, 3 - 2). Тада је А = - и + 3ј + к и Б = и - 2ј + к. Да бисте пронашли равнину коју чине ове три тачке, довољно је да пронађете вектор који је нормалан за равнину, а то је АкБ.

АкБ = (- и + 3ј + к) к (и - 2ј + к) = 5и + 2ј - к.

Помоћу овог вектора и узимајући тачку П (1, 3, 2), можемо одредити једначину равнине на следећи начин:

(5, 2, - 1) ∙ (к - 1, и - 3, з - 2) = 5 (к - 1) + 2 (и - 3) - (з - 2) = 0

Дакле, имамо да је једнацина равнине 5к + 2и - з - 9 = 0.

Пример 2

Пронађите једначину равнине која садржи тачку П (4, 0, - 2) и која је окомита на сваку од равнина к - и + з = 0 и 2к + и - 4з - 5 = 0.

Знајући да је нормалан вектор на равни осе + за + цз + д = 0 (а, б, ц), имамо да је (1, -1,1) нормалан вектор к - и + з = 0 и ( 2,1, - 4) је нормалан вектор 2к + и - 4з - 5 = 0.

Стога нормалан вектор за тражену равнину мора бити окомит на (1, -1,1) и на (2, 1, - 4). Овај вектор је:

(1, -1,1) к (2,1, - 4) = 3и + 6ј + 3к.

Затим имамо да је тражена равнина та која садржи тачку П (4,0, - 2) и има вектор (3,6,3) као нормалан вектор.

3 (к - 4) + 6 (и - 0) + 3 (з + 2) = 0

к + 2и + з - 2 = 0.

Апликације

Прорачун запремине паралелепипеда

Апликација која има троструки скаларни производ треба да буде у стању да израчуна волумен паралелепипеда чије су ивице дате векторима А, Б и Ц, као што је приказано на слици:

Ову апликацију можемо закључити на следећи начин: као што смо већ рекли, вектор АкБ је вектор који је нормалан у равнини А и Б. Такође имамо и да је вектор - (АкБ) други вектор нормалан за поменуту равнину.

Бирамо нормалан вектор који са вектором Ц чини најмањи угао; Без губитка опћенитости, нека је АкБ вектор чији је угао са Ц најмањи.

Имамо да и АкБ и Ц имају исту полазну тачку. Надаље, знамо да је површина паралелограма која чини базу паралелепипеда - АкБ--. Стога, ако је висина паралелепипеда изражена са х, имамо да ће његова запремина бити:

В = - Осовина - х.

С друге стране, размотримо тачкасти производ између АкБ и Ц, који се може описати на следећи начин:

Међутим, по тригонометријским својствима имамо да је х = -Ц - цос (ϴ), па имамо:

На овај начин имамо то:

Опћенито говорећи, имамо да је запремина паралелепипеда дата апсолутном вриједношћу троструког скаларног производа АкБ ∙ Ц.

Решене вежбе

Вежба 1

С обзиром на тачке П = (5, 4, 5), К = (4, 10, 6), Р = (1, 8, 7) и С = (2, 6, 9), ове тачке формирају паралелепипед чије ивице то су ПК, ПР и ПС. Одредите запремину наведеног паралелепипеда.

Решење

Ако узмемо:

- А = ПК = (-1, 6, 1)

- Б = ​​ПР = (-4, 4, 2)

- Ц = ПС = (-3, 2, 2)

Користећи својство троструког скаларног производа имамо:

АкБ = (-1, 6, 1) к (-4, 4, 2) = (8, -2, 20).

АкБ ∙ Ц = (8, -2, 20) ∙ (-3, 2, 2) = -24 -4 +80 = 52.

Стога имамо да је запремина поменутог паралелепипеда 52.

Вежба 2

Одредите запремину паралелепипеда чије су ивице дате А = ПК, Б = ПР и Ц = ПС, где су тачке П, К, Р и С (1, 3, 4), (3, 5, 3), (2, 1, 6) и (2, 2, 5), респективно.

Решење

Прво имамо да је А = (2, 2, -1), Б = (1, -2, 2), Ц = (1, -1, 1).

Израчунавамо АкБ = (2, 2, -1) к (1, -2, 2) = (2, -5, -6).

Тада израчунавамо АкБ ∙ Ц:

АкБ ∙ Ц = (2, -5, -6) ∙ (1, -1, 1) = 2 + 5 - 6 = 1.

Дакле, закључујемо да је запремина поменутог паралелепипеда 1 кубична јединица.

Референце

1. Леитхолд, Л. (1992). Прорачун аналитичком геометријом. ХАРЛА, СА
2. Ресницк, Р., Халлидаи, Д. и Кране, К. (2001). Физика Вол. 1. Мексико: континентални.
3. Саенз, Ј. (други). Вецтор Цалцулус 1ед. Хипотенусе.
4. Спиегел, МР (2011). Векторска анализа 2ед. Мц Грав Хилл.
5. Зилл, ДГ, и Вригхт, В. (2011). Израчунавање више променљивих 4ед. Мц Грав Хилл.