- Уочљиви производи и примери
- Биномски квадрат
- Производ коњугираних бинома
- Производ два биномија са заједничким изразом
- Полином квадрата
- Биномна коцка
- Коцка триномала
- Решене вежбе запажених производа
- Вежба 1
- Решење
- Вежба 2
- Решење
- Референце
У значајни производи су алгебраические операције, у којој су изражене множења полинома, које не морају да се решавају традиционално, али уз помоћ одређених правила се могу наћи резултати исти.
Полиноми се множе са да, па је могуће да имају велики број израза и променљивих. Да би се процес скратио, користе се правила значајних производа која омогућавају умножавање без потребе за појавом појма.
Уочљиви производи и примери
Сваки запажени производ је формула која је резултат факторизације, састављене од полинома из неколико појмова, као што су биноми или триноми, названи фактори.
Чимбеници су основа снаге и имају експонент. Када се фактори множе, експоненти се морају додати.
Постоји неколико изванредних формула производа, неке се користе више од других, у зависности од полинома, и следеће су:
Биномски квадрат
То је множење бинома по себи, изражено као снага, где се појмови сабирају или одузимају:
до. Квадратна сума биномна: једнака је квадрату првог термина, плус два пута производу појмова, плус квадратури другог појма. Изражава се на следећи начин:
(а + б) 2 = (а + б) * (а + б).
На следећој слици можете видети како се производ развија према горе наведеном правилу. Резултат се назива триномија савршеног квадрата.
Пример 1
(к + 5) ² = к² + 2 (к * 5) + 5²
(к + 5) ² = к² + 2 (5к) + 25
(к + 5) ² = к² + 10к + 25.
Пример 2
(4а + 2б) = (4а) 2 + 2 (4а * 2б) + (2б) 2
(4а + 2б) = 8а 2 + 2 (8аб) + 4б 2
(4а + 2б) = 8а 2 + 16 аб + 4б 2 .
б. Биноми одузета у квадрату: примењује се исто правило бинома сумме, само што је у овом случају други израз негативан. Његова формула је следећа:
(а - б) 2 = 2
(а - б) 2 = а 2 + 2а * (-б) + (-б) 2
(а - б) 2 = а 2 - 2аб + б 2 .
Пример 1
(2к - 6) 2 = (2к) 2 - 2 (2к * 6) + 6 2
(2к - 6) 2 = 4к 2 - 2 (12к) + 36
(2к - 6) 2 = 4к 2 - 24к + 36.
Производ коњугираних бинома
Два биномија су коњугирана када други појмови имају различите знакове, односно први је позитиван, а други негативан или обрнуто. Решава се порезивањем сваког монома и одузимањем. Његова формула је следећа:
(а + б) * (а - б)
На следећој слици развијен је продукт два коњугована биномија, где је примећено да је резултат разлика квадрата.
Пример 1
(2а + 3б) (2а - 3б) = 4а 2 + (-6аб) + (6 аб) + (-9б 2 )
(2а + 3б) (2а - 3б) = 4а 2 - 9б 2 .
Производ два биномија са заједничким изразом
То је један од најкомплекснијих и ретко коришћених значајних производа, јер је множење два биномијала који имају заједнички појам. Правило каже следеће:
- Квадрат заједничког појма.
- Збројите појмове који нису уобичајени, а затим их множите заједничким изразом.
- Плус зброј множења израза који нису уобичајени.
Представља се у формули: (к + а) * (к + б) и развија се као што је приказано на слици. Резултат је несавршени квадратни трином.
(к + 6) * (к + 9) = к 2 + (6 + 9) * к + (6 * 9)
(к + 6) * (к + 9) = к 2 + 15к + 54.
Постоји могућност да је други израз (различит појам) негативан и да је његова формула следећа: (к + а) * (к - б).
Пример 2
(7к + 4) * (7к - 2) = (7к * 7к) + (4 - 2) * 7к + (4 * -2)
(7к + 4) * (7к - 2) = 49к 2 + (2) * 7к - 8
(7к + 4) * (7к - 2) = 49к 2 + 14к - 8.
Такође може бити случај да су оба различита термина негативна. Његова формула ће бити: (к - а) * (к - б).
Пример 3
(3б - 6) * (3б - 5) = (3б * 3б) + (-6 - 5) * (3б) + (-6 * -5)
(3б - 6) * (3б - 5) = 9б 2 + (-11) * (3б) + (30)
(3б - 6) * (3б - 5) = 9б 2 - 33б + 30.
Полином квадрата
У овом случају постоје више од два појма и сваки их треба развити у квадрат и збројити двоструко множењем једног термина са другим; његова формула је: (а + б + ц) 2, а резултат операције је триномија с квадратом.
Пример 1
(3к + 2и + 4з) 2 = (3к) 2 + (2и) 2 + (4з) 2 + 2 (6ки + 12кз + 8из)
(3к + 2и + 4з) 2 = 9к 2 + 4и 2 + 16З 2 + 12ки + 24кз + 16из.
Биномна коцка
То је изузетно сложен производ. Да бисмо га развили, бином се множи са његовим квадратом, како следи:
до. За биномне коцке суме:
- Коцка првог термина, плус утростручена квадрата првог појма пута друга.
- Плус троструко у првом термину, пута у односу на други квадрат.
- Плус коцка другог мандата.
(а + б) 3 = (а + б) * (а + б) 2
(а + б) 3 = (а + б) * (а 2 + 2аб + б 2 )
(а + б) 3 = а 3 + 2а 2 б + аб 2 + ба 2 + 2аб 2 + б 3
(а + б) 3 = а 3 + 3а 2 б + 3аб 2 + б 3 .
Пример 1
(а + 3) 3 = а 3 + 3 (а) 2 * (3) + 3 (а) * (3) 2 + (3) 3
(а + 3) 3 = а 3 + 3 (а) 2 * (3) + 3 (а) * (9) + 27
(а + 3) 3 = а 3 + 9 а 2 + 27а + 27.
б. За биномне коцке одузимања:
- Коцка првог термина, минус три пута већа од квадрата првог термина, од другог.
- Плус троструко у првом термину, пута у односу на други квадрат.
- Минус коцке другог термина.
(а - б) 3 = (а - б) * (а - б) 2
(а - б) 3 = (а - б) * (а 2 - 2 аб + б 2 )
(а - б) 3 = а 3 - 2а 2 б + аб 2 - ба 2 + 2аб 2 - б 3
(а - б) 3 = а 3 - 3а 2 б + 3аб 2 - б 3 .
Пример 2
(б - 5) 3 = б 3 + 3 (б) 2 * (-5) + 3 (б) * (-5) 2 + (-5) 3
(б - 5) 3 = б 3 + 3 (б) 2 * (-5) + 3 (б) * (25) -125
(б - 5) 3 = б 3 - 15б 2 + 75б - 125.
Коцка триномала
Развија се множењем на квадрат. То је веома опсежан изванредан производ, јер имате 3 појма у коцкицама, плус три пута сваки квадрат, помножен са сваким од израза, плус шест пута производ трију термина. Гледано на бољи начин:
(а + б + ц) 3 = (а + б + ц) * (а + б + ц) 2
(а + б + ц) 3 = (а + б + ц) * (а 2 + б 2 + ц 2 + 2аб + 2ац + 2бц)
(а + б + ц) 3 = а 3 + б 3 + ц 3 + 3а 2 б + 3аб 2 + 3а 2 ц + 3ац 2 + 3б 2 ц + 3бц 2 + 6абц .
Пример 1
Решене вежбе запажених производа
Вежба 1
Проширите следеће биномне коцке: (4к - 6) 3 .
Решење
Сјећајући се да је биномни кубик једнак првом појму коцкице, минус три пута већи од квадрата првог поретка, у односу на другог; плус троструко од првог термина, од пута другог квадрата, умањено за коцку другог термина.
(4к - 6) 3 = (4к) 3 - 3 (4к) 2 (6) + 3 (4к) * (6) 2 - (6) 2
(4к - 6) 3 = 64к 3 - 3 (16к 2 ) (6) + 3 (4к) * (36) - 36
(4к - 6) 3 = 64к 3 - 288к 2 + 432к - 36.
Вежба 2
Развијте следећи бином: (к + 3) (к + 8).
Решење
Постоји бином, где постоји заједнички израз, а то је к, а други израз је позитиван. Да бисте га развили, морате само уврстити заједнички израз, плус зброј израза који нису уобичајени (3 и 8), а затим их множити заједничким изразом, плус зброј множења израза који нису уобичајени.
(к + 3) (к + 8) = к 2 + (3 + 8) к + (3 * 8)
(к + 3) (к + 8) = к 2 + 11к + 24.
Референце
- Ангел, АР (2007). Елементарна алгебра. Пеарсон Едуцатион,.
- Артхур Гоодман, ЛХ (1996). Алгебра и тригонометрија са аналитичком геометријом. Пеарсон Едуцатион.
- Дас, С. (други). Матхс Плус 8. Уједињено Краљевство: Ратна Сагар.
- Јероме Е. Кауфманн, КЛ (2011). Елементарна и средња алгебра: комбиновани приступ. Флорида: Ценгаге Леарнинг.
- Перез, ЦД (2010). Пеарсон Едуцатион.