ЗАКЉУЧАВАЊЕ АЛГЕБРЕ СВОЈСТВА: ДОКАЗ, ПРИМЕРИ - МАТХС - 2025

Лоцк особине алгебре представља феномен који се односи два елемента скупа са операцијом, гдје неопходан услов је да, након 2 елемента обрађују по наведеном раду, резултат припада и иницијалног скупа.

На пример, ако су чак и бројеви узети као скуп, а зброј као операција, добијамо закључавање тог скупа у односу на збир. То је зато што зброј два парна броја увек даје други парни број, чиме се испуњава услов закључавања.

Извор: унспласх.цом

карактеристике

Постоје многа својства која одређују алгебарске просторе или тела, попут структура или прстенова. Ипак, својство закључавања једно је од најпознатијих у основној алгебри.

Нису све примјене ових својстава засноване на нумеричким елементима или појавама. Многи свакодневни примери могу се радити из чистог алгебарско-теоријског приступа.

Пример могу бити држављани земље који преузимају било који правни однос, попут комерцијалног партнерства или брака између осталих. Након што је извршена ова операција или управљање, они остају држављани земље. На овај начин, поступци држављанства и управљања у односу на два грађанина представљају блокаду.

Нумеричка алгебра

У погледу бројева, постоји много аспеката који су били предмет проучавања у различитим струјама математике и алгебре. Велики број аксиома и теорема произашао је из ових студија које служе као теоретска основа за савремено истраживање и рад.

Ако радимо са нумеричким скуповима, можемо успоставити још једну валидну дефиницију својства закључавања. За скуп А се каже да је брава другог скупа Б ако је А најмањи скуп који садржи све скупове и операције које Б садржи.

Демонстрација

Доказ о закључавању примењује се за елементе и операције присутне у скупу реалних бројева Р.

Нека су А и Б два броја која припадају скупу Р, затварање ових елемената је дефинисано за сваку операцију садржану у Р.

Сум

- Збир: ∀ А ˄ Б ∈ Р → А + Б = Ц ∈ Р

Ово је алгебарски начин да кажемо да за све А и Б, који припадају стварним бројевима, имамо да је збир А и Б једнак Ц, који такође припада стварним.

Лако је проверити да ли је та тврдња тачна; довољно је извршити збир између било којег стварног броја и проверити да ли резултат такође припада стварним бројевима.

3 + 2 = 5 ∈ Р

-2 + (-7) = -9 ∈ Р

-3 + 1/3 = -8/3 ∈ Р

5/2 + (-2/3) = 11/6 ∈ Р

Примећено је да је услов закључавања испуњен за стварне бројеве и суму. На овај се начин може закључити: Збир реалних бројева је алгебарска брава.

Умножавање

- множење: ∀ А ˄ Б ∈ Р → А. Б = Ц ∈ Р

За све А и Б које припадају стварима, сматрамо да је множење А на Б једнако Ц, које такође припада стварима.

Када се верификују са истим елементима из претходног примера, примећују се следећи резултати.

3 к 2 = 6 ∈ Р

-2 к (-7) = 14 ∈ Р

-3 к 1/3 = -1 ∈ Р

5/2 к (-2/3) = -5/3 ∈ Р

Ово је довољан доказ да закључимо: Умножавање стварних бројева је алгебарска брава.

Ова се дефиниција може проширити на све операције стварних бројева, мада ћемо наћи изузете.

Извор: пикабаи.цом

Посебни случајеви у Р

Дивизија

Први посебан случај је подела, где се види следећи изузетак:

∀ А ˄ Б ∈ Р → А / Б ∈ Р ↔ Б = 0

За све А и Б које припадају Р имамо да А међу Б не припада стварима ако и само ако је Б једнака нули.

Овај се случај односи на ограничење немогућности поделе на нулу. Будући да нула припада стварним бројевима, онда слиједи то: подјела није бравица на реалима.

Подношење

Постоје и операције потенцијације, тачније оне радикализације, где су представљени изузеци за радикалне силе чак и индекса:

За све А који припадају стварима, н-ти корен А припада стварима, ако и само ако А припада позитивним стварима придруженим скупу чији је једини елемент нула.

На овај начин се означава да се равномерни корени односе само на позитивне резултате и закључује се да потенција није закључавање у Р.

Логаритам

На хомологан начин може се видети за логаритамску функцију, која није дефинисана за вредности мање или једнаке нули. Да бисте проверили да ли је логаритам закључан на Р, поступите на следећи начин:

За све А које припадају стварима, логаритам А припада стварним стварима, ако и само ако А припада позитивним стварима.

Искључивањем негативних вредности и нула које такође припадају Р може се рећи да:

Логаритам није закључавање стварних бројева.

Примери

Проверите браву за додавање и одузимање природних бројева:

Збир у Н

Прво је проверити стање закључавања за различите елементе датог скупа, где ако се примети да се неки елемент прекида са условом, постојање браве може се аутоматски одбити.

Ово својство важи за све могуће вредности А и Б, као што се види у следећим операцијама:

1 + 3 = 4 ∈ Н

5 + 7 = 12 ∈ Н

1000 + 10000 = 11000 ∈ Н

Не постоје природне вредности које нарушавају стање закључавања, па је закључено:

Збир је закључак у Н.

Одузимамо у Н

Траже се природни елементи који су способни да наруше стање; А - Б припада домороцима.

Једноставним управљањем лако је пронаћи парове природних елемената који не задовољавају услове закључавања. На пример:

7 - 10 = -3 ∈ а Н

На овај начин можемо закључити да:

Одузимање није закључавање на скупу природних бројева.

Предложене вежбе

1 - Покажите да ли је испуњено својство закључавања за скуп рационалних бројева К, за збрајање операција, одузимање, множење и дељење.

2-Објасните да ли је скуп реалних бројева закључавање скупа целих бројева.

3-Одредите који нумерички скуп може бити закључавање стварних бројева.

4-Докажите својство закључавања за скуп имагинарних бројева, у односу на сабирање, одузимање, множење и дељење.

Референце

1. Панорама чисте математике: избор Боурбакиста. Јеан Диеудонне Реверте, 1987.
2. Теорија алгебричних бројева Алејандро Ј. Диаз Баррига, Ана Ирене Рамирез, Францисцо Томас. Национални аутономни универзитет у Мексику, 1975.
3. Линеарна алгебра и њене примене. Сандра Ибетх Оцхоа Гарциа, Едуардо Гутиеррез Гонзалез.
4. Алгебарске структуре В: теорија тела. Хектор А. Мерклен. Организација америчких држава, Генерални секретаријат, 1979.
5. Увод у комутативну алгебру. Мицхаел Францис Атииах, ИГ МацДоналд. Реверте, 1973.