СВОЈСТВА ЈЕДНАКОСТИ - МАТХС - 2025

У својства једнакости односи на однос између две математичких објеката, било да су бројеви или променљиве. Означен је симболом "=", који увек иде између ова два објекта. Овај израз се користи да се утврди да два математичка објекта представљају исти објект; другом речју, да су два предмета иста ствар.

Постоје случајеви када је невиђено користити равноправност. На пример, јасно је да је 2 = 2. Међутим, када су у питању променљиве више нису тривијалне и имају специфичну употребу. На пример, ако имамо да је и = к, а са друге стране к = 7, можемо закључити и да је и = 7.

Горњи пример заснован је на једном од својстава једнакости, као што ћете ускоро видети. Ова својства су битна за решавање једначина (једнакости које укључују варијабле), које представљају врло важан део математике.

Која су својства једнакости?

Рефлективно својство

Рефлексивно својство, у случају једнакости, каже да је сваки број једнак себи и да се изражава као б = б за било који стварни број б.

У конкретном случају једнакости ово својство изгледа очигледно, али у другим врстама односа између бројева није. Другим речима, није сваки однос реалног броја у складу са овом својином. На пример, такав случај односа „мањи од“ (<); ниједан број није мањи од њега самог.

Симетрично својство

Симетрично својство за једнакост каже да ако је а = б, онда је б = а. Без обзира који ред се користи у променљивим, сачуваће је однос једнакости.

Извесна аналогија овог својства са својством комутације може се приметити у случају сабирања. На пример, због овог својства је еквивалентно писати и = 4 или 4 = и.

Прелазно својство

Прелазно својство о једнакости каже да ако су а = б и б = ц, онда је а = ц. На пример, 2 + 7 = 9 и 9 = 6 + 3; стога по транзитивном својству имамо да је 2 + 7 = 6 + 3.

Једноставна апликација је следећа: претпоставимо да Јулиан има 14 година и да је Марио исте године као Роса. Ако је Роса истог доба као и Јулијан, колико је година Марио?

Иза овог сценарија транзитивна својина се користи два пута. Математички се то тумачи на следећи начин: нека "а" буде доба Марије, "б" старост Розе и "ц" старост Јулијана. Познато је да је б = ц и да је ц = 14.

Прелазним својством имамо да је б = 14; односно Роса има 14 година. Пошто су а = б и б = 14, користећи прелазно својство поново имамо да је а = 14; то јест, Мариова година такође је 14 година.

Униформна имовина

Јединствено својство је да ако се обе стране једнакости додају или помноже с истим износом, једнакост се чува. На пример, ако је 2 = 2, тада је 2 + 3 = 2 + 3, што је јасно, пошто је 5 = 5. Ово својство је најкорисније када покушавате да решите једначину.

На пример, претпоставимо да се од вас тражи да решите једначину к-2 = 1. Прикладно је запамтити да се решавање једначине састоји у експлицитном одређивању променљиве (или променљивих) на основу одређеног броја или претходно одређене променљиве.

Враћајући се једначини к-2 = 1, оно што морате учинити је да изричито пронађете колико к вреди. Да бисте то учинили, променљива се мора обрисати.

Погрешно је научено да у овом случају, будући да је број 2 негативан, прелази на другу страну једнакости позитивним предзнаком. Али није тачно да се тако каже.

У основи, оно што радите је примена јединствене својине, као што ћемо видети у наставку. Идеја је очистити "к"; то јест, оставите га на једној страни једначине. По договору се обично оставља на левој страни.

У ту сврху, број који треба „елиминисати“ је -2. Начин за то био би додавањем 2, јер је -2 + 2 = 0 и к + 0 = 0. Да би се то постигло без мењања једнакости, иста операција мора се применити и на другој страни.

То нам омогућава да схватимо једнолично својство: будући да је к-2 = 1, ако се на обе стране једнакости дода број 2, једнолично својство каже да није измењено. Онда имамо тај к-2 + 2 = 1 + 2, што је еквивалентно казивању да је к = 3. С тим би једначина била решена.

Слично томе, ако желите да решите једнаџбу (1/5) и-1 = 9, можете наставити користећи униформу на следећи начин:

Генерално, могу се дати следеће изјаве:

- Ако је аб = цб, тада је а = ц.

- Ако је кб = и, онда је к = и + б.

- Ако је (1 / а) з = б, онда је з = а ×

- Ако је (1 / ц) а = (1 / ц) б, онда је а = б.

Отказивање имовине

Својство отказивања је посебан случај једнообразног својства, посебно имајући у виду одузимање и дељење (које у основи такође одговарају сабирању и множењу). Ова некретнина овај случај третира посебно.

На пример, ако је 7 + 2 = 9, онда је 7 = 9-2. Или ако је 2и = 6, онда је и = 3 (дељење са две на обе стране).

Аналогно претходном случају, следеће изјаве се могу успоставити путем својства отказивања:

- Ако је а + б = ц + б, тада је а = ц.

- Ако је к + б = и, онда је к = иб.

- Ако је аз = б, з = б / а.

- Ако је ца = цб, тада је а = б.

Замјена имовине

Ако знамо вредност математичког објекта, својство супституције каже да се та вредност може заменити у било којој једначини или изразу. На пример, ако је б = 5 и а = бк, онда супституцијом вредности "б" у другој једнакости имамо да је а = 5к.

Други пример је следећи: ако „м“ дели „н“ и такође „н“ дели „м“, онда то морамо имати м = н.

Заправо, рећи да "м" дели "н" (или еквивалентно да је "м" делитељ од "н") значи да је подељена м ÷ н тачна; то јест, дељење "м" са "н" даје читав број, а не децималну. То се може изразити тврдњом да постоји цео број „к“ такав да је м = к × н.

Пошто "н" такође дели "м", тада постоји цео број "п" такав да је н = п × м. Због својства супституције имамо да је н = п × к × н, а да се то догоди постоје две могућности: н = 0, у том случају бисмо имали идентитет 0 = 0; оп × к = 1, отуда идентитет н = н.

Претпоставимо да је "н" нула. Тада је нужно п × к = 1; дакле, п = 1 и к = 1. Поновно користећи својство супституције, супституцијом к = 1 у једнакости м = к × н (или еквивалентно п = 1 у н = п × м), коначно добијамо тај м = н, што смо желели и доказати.

Моћ моћи у једнакости

Као што се раније видело да ако се операција попут сабирања, множења, одузимања или дељења обави у оба нивоа једнакости, она се сачува, на исти начин се могу применити и друге операције које не мењају једнакост.

Кључно је да се увек изводи на обе стране једнакости и да се унапред увери да се операција може извести. Такав је случај оснаживања; то јест, ако су обе стране једначине подигнуте на исту снагу, још увек имамо једнакост.

На пример, пошто је 3 = 3, тако је и 3 ² = 3 ² (9 = 9). Опћенито, с обзиром на цијели број "н", ако је к = и, онда је к ^н = и ^н .

Роот својство у једнакости

То је посебан случај оснаживања и примењује се када је снага не-цели рационални број, као што је ½, који представља квадратни корен. Ово својство каже да ако се исти коријен примијени на обје стране једнакости (кад год је то могуће), једнакост се чува.

За разлику од претходног случаја, овде се мора водити рачуна о паритету корена који се примењује, јер је добро познато да парни корен негативног броја није добро дефинисан.

У случају да је радикал једнак, нема проблема. На пример, ако је к ³ = -8, иако је то једнакост, на пример, не можете применити квадратни корен на обе стране. Међутим, ако можете да примените коцку коцке (што је још погодније ако желите да изричито знате вредност к), чиме ћете добити к = -2.

Референце

1. Аилвин, ЦУ (2011). Логика, сетови и бројеви. Мерида - Венецуела: Савет за публикације, Универсидад де Лос Андес.
2. Јименез, Ј., Рофригуез, М., и Естрада, Р. (2005). Математика 1 СЕП. Праг.
3. Лира, МЛ (1994). Симон и математика: математички текст за други разред: књига ученика. Андрес Белло.
4. Прециадо, ЦТ (2005). Курс математике 3. разред Редакција Прогресо.
5. Сеговиа, БР (2012). Математичке активности и игре са Мигуелом и Луциом. Балдомеро Рубио Сеговиа.
6. Торал, Ц., Прециадо, М. (1985). 2. курс математике. Редакција Прогресо.