ШТА СУ ИСТОВРЕМЕНО ЈЕДНАЏБЕ? (ВЕЖБЕ РЕШЕНЕ) - МАТХС - 2025

У једначина су оне једначине који морају бити испуњени у исто време. Према томе, да бисте имали једнаке једнаџбе морате имати више једнаџби.

Када имате две или више различитих једначина, које морају имати исто решење (или иста решења), каже се да имате систем једначина или се такође каже да имате истовремено једнаџбе.

Када имамо истовремене једначине, може се догодити да немају заједничка решења или имају ограничену количину или имају бесконачну количину.

Симултане једначине

С обзиром на две различите једначине Ек1 и Ек2, следи да се систем ове две једначине назива истовременим једначинама.

Истовремене једначине задовољавају да је, ако је С решење Ек1, тада је С такође решење Ек2 и обрнуто

карактеристике

Када је у питању систем симултаних једначина, можете имати 2 једначине, 3 једначине или Н једначине.

Најчешћи методи који се користе за решавање истовремених једначина су: супституција, изједначавање и редукција. Постоји и друга метода која се зове Црамерово правило, а која је веома корисна за системе са више од две истовремене једначине.

Пример симултаних једначина је систем

Ек1: к + и = 2

Ек2: 2к-и = 1

Може се видети да је к = 0, и = 2 је решење Ек1, али није решење Ек2.

Једино заједничко решење које обе једначине имају к = 1, и = 1. То јест, к = 1, и = 1 је решење система симултаних једначина.

Решене вежбе

Затим настављамо да решимо систем симултаних једначина који је горе приказан, кроз 3 поменуте методе.

Прва вежба

Решите систем једначина Ек1: к + и = 2, Ек2 = 2к-и = 1 помоћу методе супституције.

Решење

Метода супституције састоји се од решавања једне од непознаница у једној од једначина, а затим је замењује у другој једначини. У овом конкретном случају можемо решити за "и" из Ек1 и добијамо да је и = 2-к.

Замењујући ову вредност «и» у Ек2, добијамо да је 2к- (2-к) = 1. Према томе, добијамо да је 3к-2 = 1, то јест к = 1.

Затим, пошто је позната вредност к, она се супституише у "и" и добијамо да је и = 2-1 = 1.

Стога је једино решење система симултаних једначина Ек1 и Ек2 к = 1, и = 1.

Друга вежба

Решите систем једначина Ек1: к + и = 2, Ек2 = 2к-и = 1 помоћу методе подударања.

Решење

Метода подударања састоји се од решавања за исту непознаницу у обе једначине, а затим упоређивања добијених једначина.

Решавајући за „к“ из обе једначине, добијамо да је к = 2-и, и да је к = (1 + и) / 2. Ове две једначине смо изједначили и добијамо да је 2-и = (1 + и) / 2, из чега следи да је 4-2и = 1 + и.

Груписање непознатог "и" на истој страни резултира и = 1. Сада када је познато "и", настављамо да проналазимо вредност "к". Супституирајући и = 1, добивамо да је к = 2-1 = 1.

Према томе, заједничко решење између једнаџби Ек1 и Ек2 је к = 1, и = 1.

Трећа вежба

Решите систем једначина Ек1: к + и = 2, Ек2 = 2к-и = 1 користећи методу редукције.

Решење

Метода редукције састоји се од множења једначина која су дата одговарајућим коефицијентима, тако да се при додавању ових једначина једна од променљивих поништава.

У овом конкретном примеру није неопходно множити било коју једнаџбу било којим коефицијентом, само их додајте. Додавањем Ек1 плус Ек2 добијамо тај 3к = 3, из чега добијамо да је к = 1.

Када вреднујемо к = 1 у Ек1, добијамо да је 1 + и = 2, из чега следи да је и = 1.

Стога је к = 1, и = 1 једино решење истовремених једначина Ек1 и Ек2.

Четврта вежба

Решите систем симултаних једначина Ек1: 2к-3и = 8 и Ек2: 4к-3и = 12.

Решење

У овој вежби није потребна посебна метода, па се може применити метода која је најудобнија за сваког читатеља.

У овом случају ће се користити метода редукције. Помножењем Ек1 са -2 даје једнаџбу Ек3: -4к + 6и = -16. Сада, додавањем Ек3 и Ек2, добијамо да је 3и = -4, па је и = -4 / 3.

Сада, када вреднујемо и = -4 / 3 у Ек1, добијамо да је 2к-3 (-4/3) = 8, одакле је 2к + 4 = 8, дакле, к = 2.

Закључно, једино решење система симултаних једначина Ек1 и Ек2 је к = 2, и = -4 / 3.

Посматрање

Методе описане у овом чланку могу се применити на системе са више од две истовремене једначине.

Што је више једначина и више непознаница то је компликованија процедура за решавање система.

Било која метода решавања система једначина ће добити иста решења, односно решења не зависе од примењене методе.

Референце

1. Фуентес, А. (2016). ОСНОВНА МАТХ. Увод у рачуницу. Лулу.цом.
2. Гаро, М. (2014). Математика: квадратне једначине.: Како се решава квадратна једначина. Марилу Гаро.
3. Хаеусслер, ЕФ и Паул, РС (2003). Математика за менаџмент и економију. Пеарсон Едуцатион.
4. Јименез, Ј., Рофригуез, М., и Естрада, Р. (2005). Математика 1 СЕП. Праг.
5. Прециадо, ЦТ (2005). Курс математике 3. разред Редакција Прогресо.
6. Роцк, НМ (2006). Алгебра И Еаси! Тако лако. Теам Роцк Пресс.
7. Сулливан, Ј. (2006). Алгебра и тригонометрија. Пеарсон Едуцатион.