То се зове релативно прост (узајамно прости или су узајамно прости да једни другима) на било који пар целих бројева немају заједнички делилац осим 1.
Другим речима, два цела броја су релативни прајдови ако у својој декомпозицији у прости број немају заједничког фактора.
На пример, ако се изаберу 4 и 25, главни фактори за сваки од њих су 2 и 5 м². Као што се може видети, ови немају заједничке факторе, па су 4 и 25 релативни примери.
С друге стране, ако се изаберу 6 и 24, изводећи њихове декомпозиције у примарне факторе, добићемо да је 6 = 2 * 3 и 24 = 2³ * 3.
Као што видите, ова последња два израза имају бар један заједнички фактор, дакле нису релативни примери.
Релативни рођаци
Један детаљ на који треба бити опрезан јесте то што рећи да је пар целих бројева релативни прабројеви, не значи да је било који од њих једноставни број.
С друге стране, горња дефиниција може се сумирати на следећи начин: два цела броја "а" и "б" су релативни прости ако је и само ако је њихов највећи заједнички дељив 1, то јест гцд ( а, б) = 1.
Два непосредна закључка из ове дефиниције су:
-Ако је «а» (или «б») главни број, тада је гцд (а, б) = 1.
-Ако су «а» и «б» једноставни бројеви, тада су гцд (а, б) = 1.
То јест, ако је бар један од одабраних бројева примарни број, тада је директно пар бројева релативни прајмер.
Остале карактеристике
Остали резултати који се користе да се утврди да ли су два броја релативни прости:
-Ако су два цела броја узастопна, онда су то релативни примеси.
-Два природна броја "а" и "б" су релативни прости ако су и само ако су бројеви "(2 ^ а) -1" и "(2 ^ б) -1" релативни прости.
-Два цела броја «а» и «б» су релативни прости ако, и само ако, приликом графиковања тачке (а, б) у картезијанској равнини и конструису правца која пролази кроз порекло (0,0) и ( а, б), не садржи ниједну тачку са целим координатама.
Примери
1.- Размотримо цели бројеве 5 и 12. Декомпозиције у примарним факторима оба броја су: 5 и 2² * 3 респективно. Закључно, гцд (5,12) = 1, дакле, 5 и 12 су релативни примери.
2.- Нека су бројеви -4 и 6. Затим -4 = -2² и 6 = 2 * 3, тако да је ЛЦД (-4,6) = 2 = 1. Закључно, -4 и 6 нису релативни примери.
Ако пређемо на графикон правца која пролази кроз наређене парове (-4.6) и (0,0), и одредимо једнаџбу наведене линије, може се проверити да ли она пролази кроз тачку (-2,3).
Поново се закључује да -4 и 6 нису релативни примери.
3.- Бројеви 7 и 44 су релативни основни подаци и то се брзо може закључити захваљујући ономе што је горе речено, јер је 7 примарни број.
4.- Размотрите бројеве 345 и 346. Будући да су два узастопна броја, потврђује се да су гцд (345,346) = 1, дакле 345 и 346 су релативни прајлови.
5.- Ако се узму у обзир бројеви 147 и 74, онда су то релативни примери, јер је 147 = 3 * 7² и 74 = 2 * 37, дакле ЛЦД (147,74) = 1.
6.- Бројеви 4 и 9 су релативни примери. Да би се то показало, може се користити друга горе наведена карактеризација. Заиста, 2 ^ 4 -1 = 16-1 = 15 и 2 ^ 9-1 = 512-1 = 511.
Добивени бројеви су 15 и 511. Примарна факторизација ових бројева је 3 * 5 односно 7 * 73, тако да је ЛЦД (15,511) = 1.
Као што видите, коришћење друге карактеризације је дужи и напорнији посао од директне верификације.
7.- Размислите о бројевима -22 и -27. Тада се ови бројеви могу преписати на следећи начин: -22 = -2 * 11 и -27 = -3³. Стога су гцд (-22, -27) = 1, па су -22 и -27 релативни прајдови.
Референце
- Баррантес, Х., Диаз, П., Мурилло, М., & Сото, А. (1998). Увод у теорију бројева. ЕУНЕД.
- Боурдон, ПЛ (1843). Аритметички елементи. Библиотека удовица и деце Калије.
- Цастанеда, С. (2016). Основни курс теорије бројева. Северни универзитет.
- Гуевара, МХ (други). Скуп целих бројева. ЕУНЕД.
- Виши институт за усавршавање наставника (Шпанија), ЈЛ (2004). Бројеви, облици и количине у дететовом окружењу. Министарство просвете.
- Палмер, ЦИ и Бибб, СФ (1979). Практична математика: аритметика, алгебра, геометрија, тригонометрија и правило клизања (репринт ед.). Реверте.
- Роцк, НМ (2006). Алгебра И Еаси! Тако лако. Теам Роцк Пресс.
- Смитх, СА (2000). Алгебра. Пеарсон Едуцатион.
- Сзецсеи, Д. (2006). Основна математика и пре-алгебра (илустровано издање). Цареер Пресс.
- Торал, Ц., Прециадо, М. (1985). 2. курс математике. Редакција Прогресо.
- Вагнер, Г., Цаицедо, А., Цолорадо, Х. (2010). Основни принципи аритметике. ЕЛИЗЦОМ САС