СИМПСОНОВО ПРАВИЛО: ФОРМУЛА, ДОКАЗ, ПРИМЕРИ, ВЕЖБЕ - МАТХС - 2025

Симпсон 'с правило је метод за израчунавање, отприлике дефинитивне интеграли. Заснива се на подјели интервала интеграције на паран број подједнаких интервала.

Екстремне вредности два узастопна под-интервала дефинишу три тачке на које се уклапа парабола чија је једначина полином другог степена.

Слика 1. У Симпсоновој методи интервал интеграције је подељен на парни број интервала једнаке ширине. Функција се апроксимира параболом у свака 2 под-интервала, а интеграл се апроксимира збиром подручја испод параболе. Извор: упв.ес.

Тада се површина испод кривуље функције у два узастопна интервала апроксимира површином интерполацијског полинома. Додајући допринос подручју испод параболе свих узастопних под-интервала, имамо приближну вриједност интеграла.

С друге стране, будући да се интеграл параболе може тачно израчунати алгебрично, тада је могуће пронаћи аналитичку формулу за приближну вредност одређеног интеграла. Позната је као Симпсонова формула.

Погрешка тако добивеног приближног резултата опада како је број пододјела н већи (где је н паран број).

Доле ће бити дат израз који омогућава процену горње границе грешке апроксимације на интеграл И, када је извршена подјела н редовитих подиндувала укупног интервала.

Формула

Интервал интеграције дијели се на н подинвервала при чему је н паран број. Ширина сваке поделе ће бити:

х = (б - а) / н

На овај начин, партиција се прави преко интервала:

{Кс0, Кс1, Кс2,…, Ксн-1, Ксн}

Где је Кс0 = а, Кс1 = Кс0 + х, Кс2 = Кс0 + 2х, …, Ксн-1 = Кс0 + (н-1) х, Ксн = Кс0 + нх = б.

Формула која омогућава приближавање дефинисаног интегралног И континуираног и по могућности глатког дела у интервалу је:

Демонстрација

Да би се добила Симпсонова формула, у свакој подинверзији функција ф (Кс) се апроксимира полиномом другог степена п (Кс) (парабола) који пролази кроз три тачке:; и .

Тада се израчунава полином полина п (к) у коме се апроксимира интеграл функције ф (Кс) у том интервалу.

Слика 2. Графикон који приказује Симпсонову формулу. Извор: Ф. Запата.

Коефицијенти интерполацијског полинома

Једнаџба параболе п (Кс) има општи облик: п (Кс) = АКС ² + БКС + Ц. Како парабола пролази кроз тачке К означене црвеном бојом (види слику), тада су коефицијенти А, Б, Ц су одређене из следећег система једначина:

А (-х) ² - Б х + Ц = ф (Кси)

Ц = ф (Кси + 1)

А (х) ² + Б х + Ц = ф (Кси + 2)

Може се видети да је коефицијент Ц одређен. За одређивање коефицијента А додајемо прву и трећу једначину добијајући:

2 А х ² + 2 Ц = ф (Кси) + ф (Кси + 2).

Тада се вредност Ц супституише и А се брише, остављајући:

А = / (2 х ² )

Да би се одредио коефицијент Б, трећа једнаџба се одузима од прве и Б се решава, добијајући:

Б = = 2 х.

Укратко, полином другог степена п (Кс) који пролази кроз тачке Ки, Ки + 1 и Ки + 2 има коефицијенте:

А = / (2 х ² )

Б = = 2 х

Ц = ф (Кси + 1)

Израчунавање приближног интеграла у

Приближни израчун интеграла у

Као што је већ поменуто, партиција {Кс0, Кс1, Кс2,…, Ксн-1, Ксн} се прави на укупном интервалу интегрирања са кораком х = Кси + 1 - Кси = (б - а) / н, при чему н је парни број.

Грешка приближавања

Имајте на уму да се грешка смањује с четвртом снагом броја пододјела у интервалу. На пример, ако пређете из н пододељења на 2н, онда се грешка смањује за фактор 1/16.

Горња граница грешке добијене помоћу Симпсонове апроксимације може се добити из ове исте формуле, замењујући четврти дериват максималном апсолутном вредношћу четвртог деривата у интервалу.

Примери рада

- Пример 1

Размотримо функцију ф (Кс) = 1 / (1 + Кс ² ).

Пронађите интервалу функције ф (Кс) на интервалу помоћу Симпсонове методе са два пододређења (н = 2).

Решење

Узимамо н = 2. Границе интеграције су а = -1 и б = -2, па партиција изгледа овако:

Кс0 = -1; Кс1 = 0 и Кс2 = +1.

Стога, Симпсонова формула има следећи облик:

Слика 3. Пример нумеричке интеграције Симпсоновим правилом користећи софтвер. Извор: Ф. Запата.

Референце

1. Цастелеиро, ЈМ 2002. Свеобухватни рачун (илустровано издање). Мадрид: Уредништво ЕСИЦ-а.
2. УПВ. Симпсонов метод. Политехнички универзитет у Валенсији. Опоравак од: иоутубе.цом
3. Пурцелл, Е. 2007. Цалцулус Девето издање. Прентице Халл.
4. Википедиа. Симпсоново правило. Опоравак од: ес.википедиа.цом
5. Википедиа. Интерполација полинома Лагрангеа. Опоравак од: ес.википедиа.цом