КОЕФИЦИЈЕНТ УТВРЂИВАЊА: ФОРМУЛЕ, ПРОРАЧУН, ТУМАЧЕЊЕ, ПРИМЕРИ - ДУДАС - 2025

Коефицијент детерминације представља број између 0 и 1 која представља дио бодова (к, и), која прати линију регресије наступу скупа података са две променљиве.

Такође је познат као доброти способан и означен Р ² . Да би се израчунао, узима се квоцијент између варијанције Ыи података процењених регресијским моделом и варијанције Ии података који одговарају сваком Кси података.

Р ² = СИ / Си

Слика 1. Коефицијент корелације за четири пара података. Извор: Ф. Запата.

Ако се 100% података налази на линији регресијске функције, тада ће коефицијент одређивања бити 1.

Напротив, ако за скуп података и одређеном функцијом прилагођавања коефицијент Р ² се испоставља једнака 0,5, онда се може рећи да је прилагођавање 50% задовољавајући или добар.

Слично томе, када регресионом моделу приноси Р ² вредност нижа од 0.5, то значи да одабрана функција прилагођавање не прилагоди задовољавајући подацима, па је неопходно тражити другу функцију прилагођавања.

И када се коваријансе или коефицијент корелације тежи нули, онда променљиве Кс и И у подацима су неповезане, и зато Р ² такође имају тенденцију да нулу.

Како израчунати коефицијент одређивања?

У претходном одељку је речено да се коефицијент одређивања израчунава квоцијентом између варијанци:

-Процењује се регресијском функцијом променљиве И

-Од променљиве Ии која одговара свакој од променљиве Кси од Н парова података.

Математички речено, изгледа овако:

Р ² = СИ / Си

Из ове формуле произилази да Р ² представља проценат варијансе објашњава регресионом моделу. Алтернативно, Р ² може се израчунати помоћу следеће формуле, потпуно еквивалентно са претходним:

Р ² = 1 - (Сε / Си)

Где Сε представља варијанцу резидуала εи = Ыи - Ии, док је Си варијанса скупа вредности Ии података. Да би се утврдило Ыи примењује се регресијска функција, што значи да се потврђује да је Ыи = ф (Кси).

Варијанта скупа података Ии, са и од 1 до Н, израчунава се на овај начин:

Си =

Затим наставите на сличан начин за Сы или Сε.

Илустративни случај

Да бисмо показали детаље како се израчунава коефицијент одређивања, узећемо следећи скуп од четири пара података:

(Кс, И): {(1, 1); (2. 3); (3, 6) и (4, 7)}.

За овај скуп података је предложен линеарни регресијски ставак који се добија методом најмање квадрата:

ф (к) = 2,1 к - 1

Применом ове функције подешавања, обртни моменти се добијају:

(Кс, Ы): {(1, 1.1); (2, 3.2); (3, 5.3) и (4, 7.4)}.

Затим израчунавамо аритметичку средину за Кс и И:

= (1 + 2 + 3 + 4) / 4 = 2.5

= (1 + 3 + 6 + 7) / 4 = 4,25

Варианце Си

Си = / (4-1) =

= = 7.583

Варијанца Сы

Сы = / (4-1) =

= = 7,35

Коефицијент одређивања Р ²

Р ² = СИ / Си = 7.35 / 7.58 = 0.97

Тумачење

Коефицијент одређивања за илустративни случај разматран у претходном сегменту показао се 0,98. Другим речима, линеарно подешавање преко функције:

ф (к) = 2.1к - 1

Има 98% поузданости у објашњавању података са којима је добијен методом најмање квадрата.

Поред коефицијента одређивања, постоји и коефицијент линеарне корелације или познат и као Пеарсонов коефицијент. Овај коефицијент, означен као р, израчунава се према следећем односу:

р = Ски / (Ск Си)

Овде бројач представља коваријанс између варијабли Кс и И, док је називник производ стандардног одступања за променљиву Кс и стандардног одступања за променљиву И.

Пеарсонов коефицијент може примити вриједности између -1 и +1. Када овај коефицијент тежи +1, постоји директна линеарна корелација између Кс и И. Ако уместо тога има -1, постоји линеарна корелација, али када Кс расте И опада. Коначно, близу је 0 и нема корелације између две варијабле.

Треба напоменути да се коефицијент одређивања подудара с квадратом Пеарсоновог коефицијента, само кад је први израчунат на основу линеарног стајања, али та једнакост не важи за остале нелинеарне уклапања.

Примери

- Пример 1

Група средњошколаца одредила је емпиријски закон за период клатна као функцију његове дужине. Да би постигли овај циљ, они врше низ мерења у којима мере време њихања клатна различите дужине, добијајући следеће вредности:

Дужина (м)	Период (и)
0.1	0.6
0,4	1.31
0.7	1.78
једно	1.93
1.3	2.19
1.6	2.66
1.9	2.77
3	3.62

Од њега се тражи да се направи расипање графикона података и изврши линеарно прилагођавање путем регресије. Такође, покажите једнаџбу регресије и њен коефицијент одређивања.

Решење

Слика 2. Графикон решења за вежбу 1. Извор: Ф. Запата.

Може се приметити прилично висок коефицијент одређивања (95%), па би се могло помислити да је линеарно уклапање оптимално. Међутим, ако се тачке посматрају заједно, изгледа да имају тенденцију да се окрећу према доле. О овом детаљу се не размишља у линеарном моделу.

- Пример 2

За исте податке у примјеру 1, направите распоред распршивања података. Том приликом, за разлику од примера 1, захтева се регресијско прилагођавање помоћу потенцијалне функције.

Слика 3. Графикон решења за вежбу 2. Извор: Ф. Запата.

Показују и фит функције и њеног коефицијент детерминације Р ² .

Решење

Потенцијална функција је облика ф (к) = Ак ^Б , где су А и Б константе које су одређене методом најмање квадрата.

Претходна слика приказује потенцијалну функцију и њене параметре, као и коефицијент детерминације са врло високом вредношћу од 99%. Примјетите да подаци прате закривљеност линије тренда.

- Пример 3

Користећи исте податке из примера 1 и примера 2, изведите полином другог степена. Показују графикона, фит полинома, и одговарајући коефицијент детерминације Р ² .

Решење

Слика 4. Графикон решења за вежбу 3. Извор: Ф. Запата.

Са полиномом другог степена можете видети линију тренда која се добро уклапа у закривљеност података. Такође, коефицијент одређивања је изнад линеарног стајања и испод потенцијалног фитања.

Фит упоређивање

Од три приказана подударања, онај с највишим коефицијентом одређивања је потенцијално прилегање (пример 2).

Потенцијално подударање коинцидира с физичком теоријом клатна, која, као што је познато, утврђује да је период клатна пропорционалан квадратном корену његове дужине, при чему је константа пропорционалности 2π / √г, где је г убрзање гравитације.

Ова врста поклапања потенцијала не само да има највећи коефицијент одређивања, већ и експонент и константа пропорционалности одговарају физичком моделу.

Закључци

- Подешавање регресије одређује параметре функције која има за циљ да објасни податке користећи методу најмање квадрата. Ова метода се састоји од минимизирања зброја квадратне разлике између подешавања И вриједности и Ии вриједности података за Кси вриједности података. Ово одређује параметре функције подешавања.

-Као што смо видели, најчешћа функција прилагођавања је линија, али није једина, јер подешавања могу бити и полиномна, потенцијална, експоненцијална, логаритамска и друга.

-У сваком случају, коефицијент одређивања зависи од података и врсте подешавања и показатељ је доброте примењеног подешавања.

-На крају, коефицијент одређивања означава проценат укупне променљивости између вредности И података у односу на то вредност прилагођавања за Кс дан.

Референце

1. Гонзалез Ц. Општа статистика. Опоравак од: тарви.ламолина.еду.пе
2. ИАЦС. Арагонски институт наука о здрављу. Опоравак од: ицс-арагон.цом
3. Салазар Ц. и Цастилло С. Основни принципи статистике. (2018). Опоравак од: дспаце.уце.еду.ец
4. Суперпроф. Коефицијент одређивања. Опоравак од: суперпроф.ес
5. УСАЦ. Описни приручник за статистику. (2011). Опоравак од: статистицс.ингениериа.усац.еду.гт.
6. Википедиа. Коефицијент одређивања. Опоравак од: ес.википедиа.цом.