Бином дистрибуција је расподела којом се израчунава вероватноћа настанка догађаја, под условом да се јављају у два модалитета: успех или неуспех.
Ове ознаке (успех или неуспех) су потпуно произвољне, јер не морају нужно значити добре или лоше ствари. У овом ћемо чланку навести математички облик биномне дистрибуције, а тада ће се детаљно објаснити значење сваког термина.
Слика 1. Ваљак матрице је феномен који се може моделирати употребом биномне дистрибуције. Извор: Пикабаи.
Једначина
Једначина је следећа:
Са к = 0, 1, 2, 3… .н, где:
- П (к) је вероватноћа тачно к успеха између н покушаја или испитивања.
- к је променљива која описује феномен који занима, и одговара броју успеха.
- н број покушаја
- п је вероватноћа успеха у 1 покушају
- к је вероватноћа неуспеха у 1 покушају, зато је к = 1 - п
Клиц "!" користи се за фактографску нотацију, па:
0! = 1
једно! = 1
два! = 2.1 = 2
3! = 3.2.1 = 6
4! = 4.3.2.1 = 24
5! = 5.4.3.2.1 = 120
И тако даље.
Концепт
Биномна дистрибуција је врло погодна за описивање ситуација у којима се догађај догађа или не догађа. Ако се догоди, то је успех, а ако не, онда је неуспех. Штавише, вероватноћа успеха мора увек остати константна.
Постоје феномени који одговарају овим условима, на пример бацање новчића. У овом случају можемо рећи да „успех“ добија лице. Вероватноћа је ½ и не мења се, колико год пута новчић бачен.
Рола поштене матрице је још један добар пример, као што је категорисање одређене производње у добре комаде и неисправне комаде и добијање црвене уместо црне приликом вртења колута за рулету.
карактеристике
Карактеристике биномне дистрибуције можемо сумирати на следећи начин:
- Сваки догађај или посматрање извлачи се из бесконачне популације без замене или из ограничене популације са заменом.
- Разматране су само две могућности, међусобно искључиве: успех или неуспех, како је објашњено на почетку.
- Вероватноћа успеха мора бити константна у било ком проматрању.
- Резултат било којег догађаја је независан од било којег другог догађаја.
- Средња вредност биномне дистрибуције је нп
- Стандардно одступање је:
Пример апликације
Узмимо један једноставан догађај, који може бити добијање 2 главе 5 тако што ћете 3 пута исклизнути искрену матру. Колика је вероватноћа да ће се у 3 бацања добити 2 главе од 5?
На пример, постоји неколико начина да се то постигне:
- Прва два лансирања су 5, а последња нису.
- Први и последњи су 5, али не и средњи.
- Последња два бацања су 5, а прво не.
Узмимо први пример описан као пример и израчунајмо његову вероватноћу да се појаве. Вероватноћа да ћете добити 5 глава на првом колу је 1/6, а такође и на другом, јер су то независни догађаји.
Вероватноћа да се на последњем колу набаци друга глава, осим 5, је 1 - 1/6 = 5/6. Стога је вероватноћа да ће овај низ изаћи резултат вероватноће:
(1/6). (1/6). (5/6) = 5/216 = 0,023
Шта је са остала два наставка? Имају исту вероватноћу: 0.023.
А пошто имамо укупно 3 успешна наставка, укупна вероватноћа ће бити:
Пример 2
Једно универзитет тврди да 80% студената факултетске кошаркашке екипе дипломира. Истрага истражује академску евиденцију 20 студената који су припадали поменутом кошаркашком тиму који су се прије неко вријеме уписали на универзитет.
Од тих 20 студената, 11 је завршило студије, а 9 одустало од школовања.
Слика 2. Готово сви студенти који играју за факултетски тим дипломирају. Извор: Пикабаи.
Ако је изјава универзитета тачна, број студената који играју кошарку и дипломирају, од 20, требало би да има биномну дистрибуцију с н = 20 и п = 0,8. Колика је вероватноћа да ће тачно 11 од 20 играча дипломирати?
Решење
У биномној дистрибуцији:
Пример 3
Истраживачи су спровели студију како би утврдили да ли постоје значајне разлике у стопама дипломирања између студената медицине који су примљени у посебне програме и студената медицине који су примљени кроз редовне критеријуме за пријем.
Показало се да је стопа дипломирања 94% за лекаре студенте примљене кроз посебне програме (на основу података из Јоурнал оф Америцан Медицал Ассоциатион).
Ако је 10 посебних програма студенти насумично изабрани, пронађите вероватноћу да је најмање 9 дипломирало.
б) Да ли би било необично да насумично одаберемо 10 студената из специјалних програма и откријемо да је њих само 7 дипломирало?
Решење
Вероватноћа да студент који је примљен кроз посебан програм дипломира је 94/100 = 0,94. Из специјалних програма бирамо н = 10 студената и желимо да откријемо вероватноћу да ће најмање 9 њих дипломирати.
Следеће вредности су супституисане у биномној дистрибуцији:
б)
Референце
- Беренсон, М. 1985. Статистика за менаџмент и економију. Интерамерицана СА
- МатхВоркс. Биномна дистрибуција. Опоравак од: ес.матхворкс.цом
- Менденхалл, В. 1981. Статистика за менаџмент и економију. 3рд. издање. Групо уредништво Ибероамерица.
- Мооре, Д. 2005. Примењена основна статистика. 2нд. Едитион.
- Триола, М. 2012. Основна статистика. 11тх. Ед. Пеарсон Едуцатион.
- Википедиа. Биномна дистрибуција. Опоравак од: ес.википедиа.орг