ПОИССОНОВА ДИСТРИБУЦИЈА: ФОРМУЛЕ, ЈЕДНАЏБЕ, МОДЕЛ, СВОЈСТВА - ДУДАС - 2025

Дистрибуција Поиссонова је дискретна расподела, преко којих је могуће знати вероватноћу да, у великом узорку величине и током одређеног интервала, догађај чији је вероватноћа је мала ће се догодити.

Често се пута Поиссонова дистрибуција може користити уместо биномне дистрибуције све док су испуњени следећи услови: велики узорак и мала вероватноћа.

Слика 1. Графикон Поиссонове дистрибуције за различите параметре. Извор: Викимедиа Цоммонс.

Симеон-Денис Поиссон (1781-1840) креирао је ову дистрибуцију која носи његово име, веома корисну када су у питању непредвидиви догађаји. Поиссон је објавио своје резултате 1837. године, дело истраге вероватноће појављивања погрешних кривичних казни.

Касније су други истраживачи прилагодили дистрибуцију у другим областима, на пример, број звезда које се могу наћи у одређеном обиму простора, или вероватноћу да ће војник умрети од ударања коња.

Формула и једначине

Математички облик Поассонове дистрибуције је следећи:

- μ (такође понекад означен као λ) је средина или параметар дистрибуције

- Еулеров број: е = 2.71828

- Вероватноћа добијања и = к је П

- к је број успеха 0, 1,2,3 …

- н је број тестова или догађаја (величина узорка)

Дискретне случајне променљиве, као што њихово име имплицира, зависе од случајности и узимају само дискретне вредности: 0, 1, 2, 3, 4…, к.

Средње вредности дистрибуције дају:

Варијанта σ, која мери ширење података, је још један важан параметар. За Поиссонову дистрибуцију то је:

σ = μ

Поиссон је утврдио да када н → ∞, а п → 0, средња μ - која се такође назива очекивана вредност - тежи константи:

-Сматрани догађаји или догађаји су неовисни један о другом и догађају се насумично.

-Вероватноћа П одређеног догађаја који се догоди током одређеног временског периода је врло мала: П → 0.

-Вероватноћа да ће се догодити више догађаја у временском интервалу је 0.

-Средња вредност приближна је константа дана: μ = нп (н је величина узорка)

-С обзиром да је дисперзија σ једнака μ, како прихвата веће вредности, променљивост такође постаје већа.

-Догађаји морају бити равномерно распоређени у коришћеном временском интервалу.

-Скуп могућих вредности догађаја и је: 0,1,2,3,4….

- Збир и варијабли које прате Поиссонову дистрибуцију такође је друга Поиссонова варијабла. Његова просечна вредност је збир просечних вредности ових променљивих.

Разлике у биномној дистрибуцији

Поиссонова дистрибуција се разликује од биномне дистрибуције на следећа важна начина:

-На биномску дистрибуцију утиче и величина узорка н и вероватноћа П, али на Поиссонову дистрибуцију утиче само средња μ.

-У биномној дистрибуцији могуће су вредности случајне променљиве и 0,1,2, …, Н, док у Поиссоновој дистрибуцији нема горње границе за ове вредности.

Примери

Поиссон је у почетку примјењивао своју познату дистрибуцију на правне случајеве, али на индустријском нивоу, једна од његових најранијих употреба била је у прављењу пива. У овом се процесу културе квасца користе за ферментацију.

Квасац се састоји од живих ћелија, чија је популација током времена променљива. При производњи пива потребно је додати потребну количину, па је потребно знати колико ћелија има по јединици запремине.

За време Другог светског рата Поиссонова дистрибуција коришћена је како би се утврдило да ли Немци циљају у Лондон из Цалаиса или су само насумице пуцали. Ово је било важно за Савезнике како би утврдили колико је добра нацистима била доступна технологија.

Практична примена

Примјене Поиссонове дистрибуције увијек се односе на бројање у времену или бројеве у простору. А пошто је вероватноћа за појаву мала, познат је и као "закон ретких догађаја".

Ево списка догађаја који спадају у једну од следећих категорија:

-Регистрација честица у радиоактивном распадању, што је, попут раста ћелија квасца, експоненцијална функција.

- Број посета одређеној веб локацији.

- Долазак људи на линију да плате или да им присуствује (теорија реда).

- Број аутомобила који током одређеног временског интервала прођу одређену тачку на путу.

Слика 2. Број аутомобила који пролазе кроз неку точку отприлике прати Поиссонову дистрибуцију. Извор: Пикабаи.

-Мутације претрпљене у одређеном ланцу ДНК након примања изложености зрачењу.

-У годину дана падне број метеорита пречника већег од 1 м.

-Дефекти по квадратном метру тканине.

-Квалитет крвних ћелија у 1 кубном центиметру.

- Позиви у минуту до телефонске централе.

- Чоколадни чипс присутан у 1 кг тијеста за торту.

- Број хектара заражених од стране једног паразита у 1 хектару шуме.

Имајте на уму да ове случајне променљиве представљају колико се пута догоди неки догађај током одређеног временског периода (позиви у минути на телефонској централи) или одређеног простора простора (недостаци тканине по квадратном метру).

Ови догађаји, као што је већ утврђено, не зависе од времена које је протекло од последње појаве.

Приближавање биномне дистрибуције са Поиссоновом дистрибуцијом

Поиссонова дистрибуција је добра апроксимација биномне дистрибуције све док:

-Величина узорка је велика: н ≥ 100

-Вероватноћа п је мала: п ≤ 0,1

- μ је редоследа: нп ≤ 10

У таквим је случајевима Поиссонова дистрибуција одличан алат, јер је биномна дистрибуција у тим случајевима тешко применити.

Решене вежбе

Вежба 1

Сеизмолошка студија утврдила је да је током последњих 100 година широм света било 93 велика земљотреса, а најмање 6,0 по Рицхтеровој скали -логаритмика-. Претпоставимо да је Поиссонова дистрибуција погодан модел у овом случају. Пронађи:

а) Просечна појава великих земљотреса годишње.

б) Ако је П (и) вероватноћа да ће се земљотреси догодити током насумично изабране године, пронађите следеће вероватноће:

То је прилично мање од П (2).

Резултати су наведени у наставку:

П (0) = 0,395, П (1) = 0,367, П (2) = 0,171, П (3) = 0,0529, П (4) = 0,0123, П (5) = 0,00229, П (6) = 0,000355, П (7) = 0,0000471.

На пример, могли бисмо рећи да постоји вероватноћа од 39,5% да се у одређеној години не догоди неки већи земљотрес. Или да се у тој години догодило 5,29% од 3 велика земљотреса.

Решење ц)

ц) Фреквенције се анализирају, множећи се са н = 100 година:

39.5; 36.7; 17.1; 5.29; 1,23; 0.229; 0,0355 и 0,00471.

На пример:

- Учесталост од 39,5 указује да се у 39,5 од 100 година догоди 0 великих земљотреса, могли бисмо рећи да је сасвим близу стварном резултату од 47 година без већих потреса.

Упоредимо још један Поиссон-ов резултат са стварним резултатима:

- Вредност добијена од 36,7 значи да је у периоду од 37 година дошло до једног великог земљотреса. Стварни резултат је да је у 31 години дошло до једног великог земљотреса, што је добро у складу с моделом.

- Очекују се 17,1 година са 2 велика земљотреса и познато је да је у 13 година, што је блиска вредност, заиста било 2 велика земљотреса.

Стога је Поиссонов модел прихватљив за овај случај.

Вежба 2

Једна компанија процењује да број компоненти које пропадну пре достизања 100 радних сати прати Поиссонову дистрибуцију. Ако је у том времену просечан број кварова 8, пронађите следеће вероватноће:

а) Да компонента не успе за 25 сати.

б) Отказ мање од две компоненте, за 50 сати.

ц) Најмање три компоненте откажу се за 125 сати.

Решење за)

а) Познато је да је просјек кварова у 100 сати 8, па се за 25 сати очекује четвртина кварова, односно, два квара. Ово ће бити параметар μ.

Вероватноћа да се тражи 1 компонента, случајна варијабла је „компоненте које не успеју пре 25 сати“ и њена вредност је и = 1. Замјеном у функцији вјероватноће:

Питање је, међутим, вероватноћа да мање од две компоненте испадну за 50 сати, а не да тачно две компоненте испадну за 50 сати, стога морамо додати вероватноће да:

-Нико не пропада

- Неуспех само 1

Параметар μ дистрибуције у овом случају је:

μ = 8 + 2 = 10 кварова у 125 сати.

П (3 или више компоненти не успеју) = 1- П (0) - П (1) - П (2) =

Референце

1. МатхВоркс. Поиссонова дистрибуција. Опоравак од: ес.матхворкс.цом
2. Менденхалл, В. 1981. Статистика за менаџмент и економију. 3рд. издање. Групо уредништво Ибероамерица.
3. Стат Трек. Научите себе статистику. Поиссон Дистрибутион. Опоравак од: статтрек.цом,
4. Триола, М. 2012. Основна статистика. 11тх. Ед. Пеарсон Едуцатион.
5. Википедиа. Поиссонова дистрибуција. Опоравак од: ен.википедиа.орг